の結合への準同型 $R$-代数。

Question

この質問に現れるすべてのリング/代数は、単一性とネーター環で可換であると想定されています。

しましょう $R$ リングになりましょう $A, B$ あります $R$-代数、そしてしましょう $(B_i)_{i \in I}$ サブの家族になる$R$-の代数 $B$ そのような $B = \bigcup_{i\in I} B_i$。私は最近、次の（明らかに些細な）主張に出くわしました：$$\mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B) \cong \bigcup_{i\in I} \mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B_i),$$ どこ $\cong$ セットの同型写像、つまり全単射を示します。

今、私はこれが実際に真実であるかどうか（そしてそうであれば、それをどのように証明するか）疑問に思います。私はそれが事実に関連している可能性があると思います$\mathrm{Hom}$-functorは両方の引数で制限を保持しますが、ここで考慮すべき制限の「種類」がわかりません。

どんな助けでも大歓迎です！

Answer 1

しましょう $R=\mathbb{Q}$、および $A=B=\mathbb{R}$。しましょう$I=\mathbb{R}$ とのために $x\in I$ しましょう $$B_x=\mathbb{Q}[x].$$

次に $\mathbb{R}$可換で、ネーター環であり、団結しています。また$B=\bigcup_{x\in I} B_x$。しかしながら$1_\mathbb{R}$ にありません $$\bigcup_{x\in I} \mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B_x).$$