の振幅はどうでしたか $\cos$と $\sin$選ばれましたか？

Question

なぜ使うのかわかりません$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$以下の変換で。誰かが説明するのを手伝ってもらえますか？

から

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

に変換する

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

させて$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$と$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$、

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

形の重要な部分に集中しましょう$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$表現したい$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$必要な（そして十分な）条件はそれです$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$したがって$a^2=A^2\cos^2\varphi$、$b^2=A^2\sin^2\varphi$。したがって、$$ A^2=a^2+b^2 $$欲しい$A>0$（必須ではありませんが、便利です）$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$最後の2つの要件は満たすことができます。$(a/A,b/A)$単位円上の点です。

Answer 2

これは、ベクトルを正規化する方法です$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$あれは

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

長さが等しい$1$これにより、次の変換を実行できます。$\cos \phi$と$\sin \phi$。