の少なくとも1つの明確に定義された巡回サブグループ $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$、プライム用 $p$。
次の形式の整数を考慮してください
$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $
対応する残基クラスのセット $\{[pq + 1]\}$ 巡回群を形成する $p$ 発電機付き $[p + 1]$。
例:If $p = 11$ その後 $12$ 次数の巡回サブグループを生成します $11$ に $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:
$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$
私は、除法の原理(表現)理論を使用して上記の直接証明を持っていますが、他の証明(またはリンク/参照)を見ることに興味があります。また、ウィキペディアのリンク
$\quad$ https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n
州
...プライムでも $n$ ジェネレータを見つけるための一般的な公式は知られていません。
だから私はまた、この分野で行われた部分的な進歩に興味があり、要素の順序を決定します ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$。
回答
ここでは、より大きな巡回群を「パターン構築」します $K_{2p}$ によって生成されます $[p-1]$ に $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ ために $p \ge 5$。
グループ $K_{2p}$ 持っている $2p$ 要素。
セットする $k = p-1$、偶数の整数。
から開始して番号のリストを定義します $p-1$ と増分 $2p$ 下にいる間 $p^2 - 1$、
$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$
今すぐ追加 $p$ 各番号に2番目のリストを作成するには、
$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$
ザ・ $\text{[.]}_{\, p^2}$ の数のセットの残基 $G_1 \cup G_2$ まさに $k$ の発電機 $K_{2p}$ 注文がある $2p$。
続けて、次の場所から始めて、別の番号のリストを定義します。 $p+1$ と増分 $2p$
(同等に、追加 $2$ のすべての番号に $G_1 \cup G_2$)、
$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$
今すぐ追加 $p$ 各番号に2番目のリストを作成するには、
$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$
ザ・ $\text{[.]}_{\, p^2}$ の数のセットの残基 $H_1 \cup H_2$ まさに $k$ の要素 $K_{2p}$ 注文がある $p$。
以来 $2p - 2k = 2$ で説明されていない2つの要素があります $K_{2p}$。しかし、それらは2つの要素です$\{[1],[p^2-1]\}$ 満足 $x^2 = 1$。
例: $p = 11$ 適切なサブグループを指定します $K_{22}$ の $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$。
秩序の要素 $22$ からなる
$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$
秩序の要素 $11$ からなる
$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$
秩序の要素 $2$ からなる
$\quad [120]$
秩序の要素 $1$ からなる
$\quad [1]$