の少なくとも1つの明確に定義された巡回サブグループ $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$、プライム用 $p$。

Aug 17 2020

次の形式の整数を考慮してください

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

対応する残基クラスのセット $\{[pq + 1]\}$ 巡回群を形成する $p$ 発電機付き $[p + 1]$

例:If $p = 11$ その後 $12$ 次数の巡回サブグループを生成します $11$$(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

私は、除法の原理(表現)理論を使用して上記の直接証明を持っていますが、他の証明(またはリンク/参照)を見ることに興味があります。また、ウィキペディアのリンク

$\quad$ https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n

...プライムでも $n$ ジェネレータを見つけるための一般的な公式は知られていません。

だから私はまた、この分野で行われた部分的な進歩に興味があり、要素の順序を決定します ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

回答

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

ここでは、より大きな巡回群を「パターン構築」します $K_{2p}$ によって生成されます $[p-1]$$(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ ために $p \ge 5$

グループ $K_{2p}$ 持っている $2p$ 要素。

セットする $k = p-1$、偶数の整数。

から開始して番号のリストを定義します $p-1$ と増分 $2p$ 下にいる間 $p^2 - 1$

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

今すぐ追加 $p$ 各番号に2番目のリストを作成するには、

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

ザ・ $\text{[.]}_{\, p^2}$ の数のセットの残基 $G_1 \cup G_2$ まさに $k$ の発電機 $K_{2p}$ 注文がある $2p$

続けて、次の場所から始めて、別の番号のリストを定義します。 $p+1$ と増分 $2p$
(同等に、追加 $2$ のすべての番号に $G_1 \cup G_2$)、

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

今すぐ追加 $p$ 各番号に2番目のリストを作成するには、

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

ザ・ $\text{[.]}_{\, p^2}$ の数のセットの残基 $H_1 \cup H_2$ まさに $k$ の要素 $K_{2p}$ 注文がある $p$

以来 $2p - 2k = 2$ で説明されていない2つの要素があります $K_{2p}$。しかし、それらは2つの要素です$\{[1],[p^2-1]\}$ 満足 $x^2 = 1$


例: $p = 11$ 適切なサブグループを指定します $K_{22}$$(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$

秩序の要素 $22$ からなる

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

秩序の要素 $11$ からなる

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

秩序の要素 $2$ からなる

$\quad [120]$

秩序の要素 $1$ からなる

$\quad [1]$