の統合 $e^{-\langle Ax , x \rangle}$ 以上 $\mathbb{R}^n$ [複製]
問題：
場合 $A_{n \times n}$ は対称の正定行列であり、次のことを示します。 $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax , x \rangle}~ dx = \sqrt{\dfrac{\pi^n}{\det(A)}}$$ どこ $\langle a , b\rangle$ の内積を示します $a$ そして $b$。
アプローチ：
関数を使用して、変数変換式を使用して問題に取り組んでいました $\varphi(x) = A^{-1}x$。以来$A$pdです、私はそれが可逆であることを示すことができます。しかし、私はもう先に進むことができません。
ここで似たような問題を見つけましたが、何も理解できませんでした。
回答
しましょう $v_1,\ldots,v_n$ によって誘発される内積の正規直交基底である $A$、対応する固有値 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0$。我々は持っています$\det(A)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_j$ そして等長写像によって $$ \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^t A x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-\lambda_1 x_1^2-\ldots-\lambda_n x_n^2)\,dx\stackrel{\text{Fubini}}{=}\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}\int_{\mathbb{R}}e^{-z^2}\,dz. $$
以来 $A$ 対称であり、いくつかの直交が存在します $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ （すなわち $S^{-1} = S^\top$） そのような $A = S^{-1}DS$ どこ $D := \mathrm{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ のすべての固有値を含む対角行列です $A$。の仮定のためにそれらが正であることに注意してください$A$確かにポジティブであること。だから、$S^{-1} = S^\top$： $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x $$ オペレーターを紹介します $\Phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$、 $\Phi(x):= Sx$。 $\Phi$ のために全単射です $S$反転可能であること。さらに簡単に見つけることができます$D\Phi(x) = S^{-1}$ すべてのために $x \in \mathbb{R}^n$。私達はまたそれを知っています$\lvert \det(S^{-1}) \rvert = 1$ なぜなら $S$直交しています。したがって、変換式は次のようになります。$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{- \langle S \Phi(x), DS \Phi(x) \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle x, Dx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x $$ それを使う $e^{x+y} = e^x e^y$ すべてのために $x, y \in \mathbb{R}$ そしてフビニは結論を下します： $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x = \prod_{j = 1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j $$ 今考えてみましょう $$ I_j := \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j. $$ 代替品を導入する $y := \sqrt{\lambda_j}x_j$。次に：$$ I_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_j}} \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}~\mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_j}} $$ すべてをまとめる： $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} = \prod_{j = 1}^n I_j = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\prod_{j = 1}^n \lambda_j}} = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\det(A)}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det (A)}} $$ 最後のステップでは、固有値の積が行列式であることを使用しました。