p-ラプラシアンのグリーン関数はありますか?
グリーン関数は線形微分演算子に対して定義されています $L$ 方程式の解として $LG = \delta$、 どこ $\delta$ディラックのデルタ関数です。の定義の直接的な結果$G$ 問題の解決策です $Lu = f$ 畳み込みです $G*f$、 どこ $G$ グリーン関数です。
方程式の解が存在するかどうかを知りたいです。 $$ \Delta_p G = \delta $$ いくつかの有界ドメインで $\Omega$ いくつかの境界条件で、ここで $\Delta_p$ それは $p$-ラプラシアンの定義: $$ \Delta_p u = div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u), $$ と $p\neq 2$ (ケース $p=2$ラプラシアンです)。私は問題の解決策を構築することができないことを知っています$\Delta_p u = f$ 畳み込みによって $G*f$、なぜなら $\Delta_p$ 非線形です。
この問題についての論文は見つからなかったので、非常に難しい問題かもしれないし、解決策が存在しないことはよく知られているかもしれないと思います。この問題について教えていただければ幸いです。
回答
しましょう $\omega_d = |\mathbb{S}^{d-1}| = \frac{2\,\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ そして $p>\frac{d-1}{d+1}$ 検証 $p\neq d-1$。方程式の1つの解$$ \Delta_p u = \delta_0 $$ に $\mathbb{R}^d$ です $$ u = \tfrac{p}{p+1-d} \frac{1}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{(d-1)}{p}-1}}. $$ あなたが言うように、これは反対側の右辺で方程式を解くのに役立ちません。 $\Delta_p$線形ではありません。したがって、私はそれをグリーン関数とは呼びません。
備考:いつ$p=d-1$、同じ手順で $u = C\,\ln(|x|)$。
証明:そのような機能のために$u$、確かに、 $$ ∇u = \frac{x}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{d-1}{p}+1}} $$ そのため $$ |∇u|^p = \frac{1}{\omega_d\,|x|^{d-1}} = \left|\frac{x}{\omega_d\,|x|^{d}}\right| = |∇G_1| $$ どこ $G_1 = \frac{-1}{(d-2)\,\omega_d\,|x|^{d-2}}$ ラプラス方程式の解です $\Delta G_1 = \delta_0$。したがって、$|∇u|^{p-1}∇u$ そして $∇G_1$ 平行で、同じ方向で、同じ基準であると、私たちは推測します $|∇u|^{p-1}∇u = ∇G_1$、 そのため $$ \Delta_p u = \mathrm{div}(|∇u|^{p-1}∇u) = \mathrm{div}(∇G_1) = \Delta G_1 = \delta_0. $$