ポートフォリオリスクにおける共分散要素の解釈と単位
与えられたポートフォリオリスクは $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ どこ $\boldsymbol{\Sigma}$ 対角要素がその対角要素である共分散行列です $\sigma^2_{n}$ は個々の資産収益率の分散であり、その非対角要素は資産のペアワイズ共分散です。 $\sigma_{n,\neg n}$
要素の解釈は何ですか $\sigma_{1,2}$ に $\boldsymbol{\Sigma}$、そしてその単位をどのように説明しますか？
場合 $\sigma_{1,2}=0.1$ 次のように言うのは正しいでしょうか？
「資産1のリターンの動きは、平均して資産2のリターンの動きと10％の標準偏差で共変動し、その逆も同様です。」
回答
解釈と単位の問題、つまり簡単に直感的な答えがないことが、クオンツ/計量経済学者などが共分散についてあまり話さないようにする傾向がある理由です[絶対に必要な場合でも。頻繁に使用されます]。したがって、共分散を含むものを解釈する必要がある場合、説明は言うまでもなく、デフォルトでは通常、相関の観点から表現します。これには、直観的な単位があります。有界[-1,1]、0 =独立などです。
Cor（1,2）= Cov（1,2）/（sd（1）* sd（2））
Cov（1,2）= Cor（1,2）* sd（1）* sd（2）
したがって、ここでの「単位」は、それぞれが独自の単位を持つ3つの測定値の製品ブレンドです。2つのボラティリティと制限された関連性の測定値です。そのため、それらは存在しますが、直感的な説明が不足しています。
最も近い方法は、共分散を、重み1と2の積の単位変化あたりのポートフォリオ分散のわずかな変化として表現することです。これは極端にエレガントではなく、礼儀正しくなります;-)
従来のOLSベータは次のように表現できることも思い出してください。
Beta（1 | 2）= Cov（1,2）/ Var（2）= E（d1）/ d2
E（d1）= Cov（1,2）* d2 / Var（2）
したがって、Asset2で+1を変更すると、+ 0.1がAsset1への分散効果で除算されます。これは、Asset2の+1シグマ移動の0.1をAsset1の標準偏差で割ったものであると言っているのと同じです。これは言うことと同じです（ここで、Z = 1は1シグマショックです）：
d1 / d2 = Cov（1,2）/ Var（2）
d1 / z2 = Cov（1,2）/ SD（2）
z1 / z2 = Cov（1,2）/（SD（1）* SD（2））= Cor（1,2）！
したがって、上記の直感的なステートメントを作成する方法は、共分散を（直感的な）単位のない相関に変換するために残っています。1または2のいずれかで1つのシグマが移動すると、もう一方にわずかなCor（1,2）シグマ効果が生じます。
ただし、これにアプローチする場合は、ここで直感的な説明結果を生成するために、追加のメトリック（絶対リターン、ボリューム調整済みリターン、または重みのいずれかである独自の単位を使用）を介して共分散を常に処理する必要があります。従来のw.Cov.wの定式化は、ポートフォリオのリスクを予測するのに効率的です。しかし、解釈と説明に関しては、大失敗です。そのため、出版物は必然的に関連する相関行列を優先的に示します。2つは常に同じ出力/予測を提供します。2つのどちらを選択するかによって、最終的には予測と解釈の問題が発生します（つまり、本質的にプレゼンテーション）。
したがって、ポートフォリオが完全にコンソルまたは単一期間の割引債で構成されていると仮定しましょう。これは株式にとって疑わしいでしょう。$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ そして $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$配当の影響を無視した場合。これにより、2つの比率分布の積分布が返されます。CAPMのようなモデルは、すべてのパラメーターが既知であり、誰も推定を行っていないことを前提として、この問題を回避します。穏やかな仮定の下では、これらのリターンは、対数空間でも定義された共分散行列を持ちません。
ただし、質問に関しては、次のようなパラメータを覚えておくことが重要です。 $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$頻度主義理論では不動点と考えられています。パラメータが確率変数であるため、CAPMのようなモデルはベイズ空間では機能しません。
だから、あなたの質問に答えて、の単位 $\sigma_{i,j}$共同期待からの方向性のある二乗の超過/不足リターンにあります。方向性のあるエリアと考えることができます。
通常の解釈は、次のことに注意することにより、常に分散によってスケーリングされます。 $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist：もう少し読んだのですが、こんな感じです。（CAPMに関してこれについて話したり、Daveとの現在の議論についてコメントしたりしないでください）。あなたが持っているとしましょう$\sigma_{(1,2)}$ これは、株式1と株式2の（リターンの）共分散を示します。 $x$ 株式1とのリターン（サンプル）として $y$ 在庫2の（サンプルの）リターンとして。
解釈への第一歩は $\sigma_{(1,2)}$ そしてそれを株式のリターンのサンプル分散で割る1.これを呼び出す $\beta_{(1,2)}$。次に、これを行うと、$\beta_{(1,2)}$ 株式1のリターンとstock_2の株式リターンの単純な回帰の係数（切片ではなく、他の1つ）として解釈できます。ここで、株式2のリターンは応答です（$y$）および株式1のリターンは予測子です（$x$）。
事実 $\sigma_{(1,2)}$0.1であるということは、回帰解釈を説明するために、株式1の株式リターンの標本分散で除算する必要があるため、実際にはあまり意味がありません。もちろん、株式1のリターンの標本分散がたまたま1.0である場合、共分散は、株式1のリターンの単位増加ごとに株式2のリターンが増加する推定量として解釈できます。
私が元の投稿で言及したように見える矛盾（私を混乱させた）は存在しないことに注意してください。回帰を反転して株式1のリターン（x）を応答にし、株式2のリターン（y）を予測子にした場合、1つ共分散を分割する必要があります、 $\sigma_{(1,2)}$株式1のリターンのサンプル分散（x）ではなく、株式2のリターンのサンプル分散（y）によって。したがって、定義に矛盾はありません。これが物事を明らかにすることを願っています。
ああ、また、私が知る限り、共分散と回帰のR ^ 2の間には、私が誤ってそうだと思っていた関係はないようです。混乱してしまったことをお詫びします。