ラングの学部分析におけるシャカルチの1.3.4の証明の説明
私は現在、ラングの学部分析に取り組んでおり、ラミ・シャカルチの次の証明を理解しようとしています。
しましょう $a$ 次のような正の整数である $\sqrt a$不合理です。しましょう$\alpha = \sqrt a$。数が存在することを示す$c > 0$ すべての整数に対して $p, q$、と $q > 0$ 我々は持っています $\mid q \alpha - p \mid > c/q$。
以下にShakarchiの証明のスクリーンショットを追加しました。
この証明についての私の理解は次のとおりです。
ラングによって与えられた提案は合理化することです $q \alpha - p$、すなわち、製品を取る $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$。そうすることで
$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$
想起 $q, a, p \in \mathbb{Z}$、と $q > 0$ そしてまた $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$、 特に $a \neq 0$。次に$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$
私がやや倒れるところは次の部分です-私たちは選択します $c$ そのような $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$。私たちが選ぶと思います$c$ この方法でケースを処理する $\mid \alpha \mid < 1$ そのため $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$。その場合は、正の倍数を選択できます。$\mid \alpha \mid$ デモニネーターで、すなわち $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ または $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ 同様に機能します。
さて、で得られた結果を使用して $\textbf{1}$ そして私たちの仮説では、不等式を設定します $\textbf{2}$。左端の不等式がどのように得られるかについて私は途方に暮れています-私は仮説によってそれを知っています$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ そして追加します $\mid 2\alpha \mid$ 右端の不等式を得るために両側に。
そして、最終的な不等式では、それをどのように知っているのか私にはわかりません $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$。
私はこれらの2つのポイントへの答えを探しています：
- 上で概説したステップの説明が不明確である、つまり、 $c$ （なぜ私たちは選ぶのですか $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$）、の左端の不等式 $\textbf{2}$、および中程度の不等式 $\textbf{3}$。
- この証明は私にはかなり直感的ではありませんでした-私は合理化することさえ考えていませんでした $q \alpha - p$私が最初にこの問題に取り組んでいたとき。そういうことで、こういう練習問題で見やすくなると思います。それでも、もっと簡単な、またはもっと直接的な証拠はありますか？
回答
それは三角不等式です
$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$
理由 $3$ 選ばれた理由：取得する必要がある $|\alpha -\frac pq|$何かよりも大きい。しかし、$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ 私たちが知っているだけなので、直接取得することはできません $|\alpha-\frac pq|$何かよりも小さいです。代わりに私たちは$|\alpha + \frac pq|$何かよりも大きい。しかし、どうすれば変換できますか$|\alpha + \frac pq|$ 関係する何かに $|\alpha -\frac pq|$？まあ彼らがそれをした方法は$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$。しかし、それはさらに2つ投げます$\alpha$作品に。
「私たちがそれをどのように知っているのか私にはわかりません$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$「」
さて、あなたは持っています $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$
そう $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$
$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$
$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$。
で一番左の不平等2は、あまりにも把握するために私を少し取った:)
それは三角不等式です：
$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$
3の真ん中の不等式は、2からの全体的な不等式です。
の選択 $c$ より柔軟かもしれませんが、3を使用すると、上記のすべてがキャンセルされ、より適切に機能すると思います。