リー代数の同型写像の例

Question

同型リー代数の例を探しています。全単射線形関数が存在する場合、2つの代数は同型です$g_1 \rightarrow g_2$ すべてをマップします $X,Y \in g_1$ お気に入り $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$。

だから私が考えることができる2つのリー代数は ${\rm I\!R}^3$ 左不変ベクトル場の交換子代数ですが、前に述べたようにそれらをマッピングする関数は考えられません。

Answer 1

例、大まかに簡単なものから難しいものへの順序：

1. しましょう $\mathfrak g$リー代数である。アイデンティティマップ$x \mapsto x$ からの同型です $\mathfrak g$ それ自体に。

2. しましょう $V$、 $W$ 体上の多元環である $k$、およびそれらのリーブラケットを次のように定義します。 $[v_1, v_2] = 0$ そして $[w_1,w_2]=0$ すべてのために $v_1,v_2 \in V$、 $w_1,w_2 \in W$。リー代数を示す$V$ そして $W$ （これらの括弧付き）は、次の場合にのみ同型です $V$ そして $W$同じ寸法です。（これは、線形代数の絶対的な基礎であるベクトル空間の同型を理解するための単なるチェックです。）

3. しましょう $k$ 任意のフィールドであり、 $\mathfrak{gl}_n(k)$ すべてによって与えられたリー代数 $n \times n$-マトリックスオーバー $k$、行列交換子によって与えられたリーブラケットを使用 $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ （どこ $\cdot$通常の行列乗算です）。しましょう$g$いずれであっても可逆 $n\times n$-マトリックスオーバー $k$、すなわちの要素 $\mathrm{GL}_n(k)$。地図を表示する$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ からの同型です $\mathfrak{gl}_n(k)$それ自体に、すなわちの自己同型$\mathfrak{gl}_n(k)$。

4. しましょう $\mathfrak{gl}_n(k)$前の例のようになります。各行列をその負の転置に送信するマップ、$$ A \mapsto -A^T$$ からの同型です $\mathfrak{gl}_n(k)$それ自体に、すなわちの自己同型$\mathfrak{gl}_n(k)$。

5. しましょう $k$ 任意のフィールドである、 $c \in k^\times$、 $\mathfrak g_1$ 二次元 $k$-基底のあるベクトル空間 $v_1, v_2$ とリーブラケット $[v_1, v_2] = v_2$。しましょう$\mathfrak g_2$ 別の二次元になる $k$-基底のあるベクトル空間 $w_1,w_2$ そして $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$。リー代数の同型写像を見つける$\mathfrak g_1$ そして $\mathfrak g_2$。

6. しましょう $\mathfrak g_1$ そして $\mathfrak g_2$ 前の例と同じですが、Lieブラケットが $\mathfrak g_2$ によって与えられます $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ どこ $c \in k^\times$ そして $a \in k$。再び同型を見つける$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$。（これと以前例えば、参照同型にClasssifying 1-および2-次元代数、アップ、寸法のいずれか2つのnonabelianリー代数の間の明示的な同型（明示的に定義された）を取得する方法$2$、2次元リー代数、2次元リー代数-ブラケットを知らなくても何を知っていますか？）

7. しましょう $k$ 特性の任意のフィールドである $\neq 2$、 $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ トレースレスのリー代数 $2 \times 2$-行列（例3のように与えられたリーブラケット付き）。しましょう$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ （「分割形式の $\mathfrak{so}_3$"）行列交換子によって与えられたリーブラケットも使用します。これら2つのリー代数間の同型を見つけます。（リー代数を比較します。$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ そして $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$、その直接証明$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$、3次元直交リー代数と次元の特殊線形リー代数の間の明示的な同型$3$ およびその中のリンク。）

8. しましょう $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ （の3次元実部分空間 $2 \times 2$複素行列）; （例3のように）行列交換子によって与えられたリー代数を使用して、これがリー代数であることを再度確信してください。同型であることを示す$\mathbb R^3, \times$つまり、外積によって与えられるリーブラケットを使用した3次元の実際のリー代数。（なぜの要因があるのか​​を比較してください$2$ 同型写像で $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$？。これはあなたが質問でほのめかしていることのようです。）

9. 間の同型を見つける $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ とスキュー対称 $4\times 4$ 上の行列 $\mathbb C$。（4次元の直交リー代数と次元3の特殊線形リー代数の直和の間の明示的な同型写像を参照してください。）

10. 交代行列の直和間の同型を見つける $3 \times 3$ それ自体を含む実数行列、および$4 \times 4$実数のスキュー対称行列。（Cf.間の同型$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ そして $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $）

11. ために $\mathfrak g$実際のリー代数、スカラー拡張/複素化 $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ は、の双線形拡張によって与えられるリーブラケットを持つ複雑なリー代数です。 $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$。簡単：の複雑化を示す$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ 同型です $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$。より難しい：$\mathfrak{su}_2$ 例8で定義されているように、複素化が $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ また、同型です $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$。ボーナス：それにもかかわらず、本物のリー代数であることを示す$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ そして $\mathfrak{su}_2$互いに同型ではありません。（の複素化間の正確な接続を比較します$\mathfrak{su}(2)$、 $\mathfrak{so}(1,3)$ そして $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$、リー代数の複素化ですか$\mathfrak g_{\mathbb C}$ 上のリー代数構造に相当 $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$？、そしておそらくもっとたくさん。）

また、リー代数同型写像を見つけてみてください。