三角形のないポリゴンのブレース
次のラマングラフは、三角形のない正方形を中括弧で囲んでいます。別の言い方をすれば、これは3サイクルのない単位距離の剛体グラフです。これは、三角形のないブレースポリゴンの最小の例のようです。これはたまたまユニットスティックキューブグラフのサブグラフです。
他のどの正多角形が三角形のない剛体構造を持っていますか？
回答
すべての剛体フレームワーク、つまりすべての正多角形は、三角形のない同等のものに変換できます。単にコピーをチェーンする$12$-2つの同一線上のエッジに沿った質問（私が発見した）に示されている頂点の三角形のないブレースされた正方形は、三角形のない任意の整数の長さの剛体線分を与えます：
次に、三角形のグリッドを三角形なしで次のように模倣できます（すべての直線のフクシアエッジは上記のグラフチェーン構造で作成され、すべての黒いエッジは単一のスティックです）。
たとえば、三角形のない六角形をブレースするには、次のようにします。
ただし、上記の六角ブレースはかなり大きいです。トライアングルフリーブレースへの別のアプローチは、仮想エッジです。1つのエッジが削除された立方グラフの埋め込みでは、2度の間の距離-$2$ 頂点（欠落しているエッジに一致）は常に $1$。これにより、次の三角形のない剛体の通常の六角形が$16$ 頂点と $29$エッジ（渋谷コミットプルーフ）：
上に示した2つのバージョンは、グラフ理論的に同型です。それらの座標は同じ最小多項式を持っています。特に渋谷のパラメータを利用して、$x$-頂点の座標 $7$ 満たす $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$（最初の多項式を取得できるGAP関数を教えてくれたHulpkeに感謝DecomPolyします。）2番目のバージョンのかすかな線は、剛体グラフが次数に関連していることを示しています。$4$ 超立方体グラフ。
Parcly Taxelの回答の補足として、彼の六角形の筋交いは、六角形の筋交いの2DOFファミリ全体のサブセットです。これがこのファミリーの2つの特に対称的なメンバーです。（点線は、エッジとして含まれていない単位の区切りを示します。）
