三角形の整数の長さ

Question

場合 $a,b,c$ は直角三角形の辺の長さです。ここで $a$ 斜辺である場合、それは可能ですか $c$、 $b$、 $\sqrt{a^2-ac}$、 $\sqrt{a^2-ab}$すべて整数ですか？これを別のジオメトリの問題で導き出しましたが、どうすればよいかわかりません。

Answer 1

なので $\sqrt{a^2-ac}$、 $\sqrt{a^2-ab}$ 整数です、 $a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$ または $a\in\mathbb Z$。明らかに、$b\neq c$ したがって、 $a\in\mathbb Z$。なので$\triangle ABC$ は整数の辺を持つ直角三角形です。 $$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$いくつかのための $m,n\in\mathbb N$。しましょう、$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$今として $a(a-c)$ そして $a(a-b)$ 完璧な正方形です、私たちは持っている必要があります $2(m^2+n^2)$ そして $m^2+n^2$ばかげている完璧な正方形として。したがって、元の仮説は誤りです。

Answer 2

コメント-もし $a$ 不合理です $a=a_1\sqrt n$ だから私たちは持っています $\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$ これは不可能です $c$ 正の整数（にのみ有効 $c=0$ そう $c$三角形の辺にすることはできません）。したがって、あなたは持っている必要があります$(a,b,c)$ ピタゴラス三角形です。

今すぐ試してみてください $a,b$ そして $c$ 整数。