参照要求：微積分の基本定理の多次元一般化
$\newcommand\R{\mathbb R}$しましょう $f\colon\R^p\to\R$連続関数である。にとって$u=(u_1,\dots,u_p)$ そして $v=(v_1,\dots,v_p)$ に $\R^p$、しましょう $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ しましょう $F\colon\R^p\to\R$ の不定積分であること $f$、その意味で $$D_1\cdots D_p F=f,$$ どこ $D_j$ に関する偏微分の演算子です $j$th引数; この繰り返される偏微分の結果は、偏導関数が取られる引数の順序に依存しないと想定されます。しましょう$[p]:=\{1,\dots,p\}$。セットごとに$J\subseteq[p]$、しましょう $|J|$ のカーディナリティを示します $J$。
次に、微積分の基本定理（補題5.1）の次の多次元一般化を確立することは難しくありません：\ begin {equation} \ int_u ^ v dx \、f（x）= \ sum_ {J \ subseteq [p]}（ -1）^ {p- | J |} F（v_J）、\ end {equation}ここで、$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$。
誰かがこのまたは同様の声明を他の場所で見たことがありますか？（私は参照についてのみ質問しており、証明については質問していません。）
回答
千回も再発明されたかもしれないこのような基本的な事実のために、これが現れた最初の論文を見つけるのは難しいです。しかし、私はいくつかの欠けている文脈を与えましょう。関連する「スマート」補間式または積分残差のあるテイラー式について、構成的場の量子論と統計力学の業界全体が存在します。これらは、いわゆるクラスター展開を実行するために使用されます。OPのアイデンティティについては、一般性を失うことはありません。$u=(0,0,\ldots,0)$ そして $v=(1,1,\ldots,1)$。この場合、ブール格子のメビウスの反転を介して、式は次のアイデンティティから得られます。
しましょう $L$有限集合である。しましょう$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$、 $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ 十分に滑らかな関数であり、 $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$、その後 $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ どこ $\psi_A(\mathbf{h})$ 要素です $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ の $\mathbb{R}^L$ 要素から定義 $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ に $[0,1]^A$ ルールによって： $x_{\ell}=0$ もし $\ell\notin A$ そして $x_{\ell}=h_{\ell}$ もし $\ell\in A$。もちろん、1）これをすべてに適用する必要があります$L$のサブセットである $[p]$、2）ブール格子でメビウスの反転を使用し、3）に特化する $L=[p]$、これはOPのアイデンティティを与えます。
上記の式は、「キューブのペア」クラスター展開を行うために使用される、この種の最も単純な式です。記事の式III.1を参照してください
A.AbdesselamおよびV.Rivasseau、「樹木、森林、ジャングル：クラスター拡大のための植物園」。
それはまた本の115ページの言葉で説明されています
V. Rivasseau、「摂動から建設的な再正規化へ」。
さて、この公式は、はるかに強力なもの、つまり補題1の特定のケースです。
A.AbdesselamおよびV.Rivasseau、「明示的な大規模対小規模フィールドのマルチスケールクラスター展開」、
ここで、「許可された」シーケンスを合計します $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ の要素の任意の長さの $L$、のサブセットの代わりに $L$。許可の概念は、任意の停止規則に基づいています。上記のIDは「許可」に対応します$=$「繰り返しなし」、または人が取り組むべきではない停止規則 $\ell$それがすでに現れたシーケンスの終わりに。ルール1は、エルミートGenocchi式を証明するために、Rivasseauとの私の記事の付録のAでHairerによって異方性テイラー式補題1を使用することができます停止の選択のこの種でプレイして「規則構造の理論」や他の多くのものを。いつ$f$ たとえば、は線形形式の指数関数であり、MOの投稿のようにさまざまな代数的恒等式を取得できます。
有理関数の恒等式
順列の合計を含むアイデンティティ
言及するのを忘れました。補題1を使用して、微積分1からテイラー公式を導出できます。これはに対応します。 $L$ 1つの要素を持ち、許可されたシーケンスを最大で長さのシーケンスとして定義する $n$。見る
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
ザ・ $p=2$次元の場合は、ロガフスキーの微積分学の教科書の演習です。これは、2008 Early Transcendentalsエディションの885ページの演習47、セクション15.1（いくつかの変数への統合）です。