参照要求：ディオファントス方程式
ディオファントス方程式をテーマにした教科書、できれば講義を探しています。私は、モジュラー算術、円錐曲線、およびハッセ原理の基本原理、および楕円曲線、モーデルの定理などの基本に精通しています（ただし、証明を理解できるところまでは至っていません）。
私が必要としているのは、基本を超えたものです。高度な理論を教えてくれ、ディオファントス表面（曲線だけでなく）についても教えてくれるもの。
回答
これは、（あなた自身のように）ディオファントス幾何学の定義と方法のいくつかにすでに表面的に精通している人にとっては良い選択かもしれません：
- マーク・ヒンドリー、ジョセフ・H・シルバーマン-ジオファンチン幾何学：序論、数学201の大学院テキスト、Springer（2000）、https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2。
次の2つは素晴らしい解説記事（特に最初の記事）であり、当時私にたくさんのインスピレーションを与えてくれました。
マズール、バリー。曲線上の算術。ブル。アメル。数学。Soc。（NS）14（1986）、no。2、207--259。https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
マズール、バリー。数論におけるローカルからグローバルへの移行について（リンク）
アンリ・ダルモンには、曲線上の有理点のトピックに関するいくつかの素晴らしい記事があります。
曲線上の有理点（リンク）
モジュラー楕円曲線上の有理点（リンク）
Anthony Varilly-Alvaradoには、さまざまなタイプのサーフェス上の有理点のトピックに関する非常に優れた紹介がいくつかあります。
デルペッゾ表面の算術に関する講義（リンク）
K3曲面の算術（リンク）
Alexei Skorobogatovは、2013年に、表面上の有理点と高次元の変種に関するコースを教えました。このメモは、アクセシビリティと一般性のバランスが取れています。
- 算術幾何学：合理的な点（リンク）
次に、楕円形の表面上の合理的な点に関するYonatanHarpazによる次のメモがあります。
- 楕円ファイブレーションの有理点-コースノート（リンク）
最後に（今のところ）、Brendan Hassettは、品種の有理点のポテンシャル密度のトピックに関する素晴らしい記事を持っています。これも非常に興味深いものです。
- 代数多様体上の有理点のポテンシャル密度（リンク）
例えば
- 数論：第1巻：ツールとディオファントス方程式、数学の大学院テキスト239、https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; そして
- 数論：第2巻：分析ツールと最新ツール、数学の大学院テキスト240、https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
アンリ・コーエン著。
代数幾何学がなければ、現代の理論を理解することは困難です。
これは本で取られたアプローチです：
- ビヨルン・プーネン、品種に関する合理的なポイント、数学の大学院研究186（2017）、出版社のページ、著者pdf。
ベイカーの方法、シュミットの部分空間定理などのアプリケーションに興味がある場合は、EvertseとGyőryによる次の最近の本が好きかもしれません。
- ディオファントス数論における判別方程式、New Mathematical Monographs、32、Cambridge University Press、Cambridge、2017年。
- ディオファントス数論の単位方程式、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、146、Cambridge University Press、Cambridge、2015年。
上記の本にもう1つ追加します。
- J.Kollár、KE Smith、およびA. Cortiによる合理的およびほぼ合理的な品種（高度な数学におけるケンブリッジ研究）。
著者は、古典的な方法と現代的な方法を組み合わせて、合理性の質問に対する多かれ少なかれ基本的なアプローチを提示します。