SD既約YM接続のモジュライ空間のアティヤの証明

Question

論文「4次元リーマン幾何学における自己双対性」（1978）で、Atiyah、Hitchin、およびSingerは、自己双対の還元不可能なヤンミルズ接続の空間がハウスドルフ多様体であり、それが空でない場合はその証拠を提示します。セットすると、寸法は次の式で与えられます。 $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ どこ $\chi(M)$ オイラー標数であり、 $\tau(M)$ 署名。

編集：元の論文にエラー/タイプミスが含まれていることが判明しました。それは実際にはあるべきです$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ 編集の終わり。

論文全体を理解できるようになりたいのですが、まだ理解できる立場にはありません。アティヤのいくつかのアプリケーションに興味があるので、この次元の計算を理解しようとしているだけです。歌手指数定理。
この次元を計算するために、この論文では以下を利用しています。$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ いくつかの補助バンドルに値を持つスピノルバンドルのディラック作用素である $E$。インデックス定理により、$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ 次元4では、 $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$（しかし、これはどこで使用されますか？）。証明のために、私たちは$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$。次に$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$。ここまでは順調ですね。私は次の計算で道に迷います：$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ どこ $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$。このステップは完全に自明ではないように思われるので、方程式の赤い色の部分を説明する結果を見つけようとしていますが、それにもかかわらず、それは論文内でまったく詳しく説明されておらず、私はできませんこのステップを説明するソースを見つけてください。ではディラック演算子とバンドル対称製品のねじれのチャーン文字のインデックス受け入れ答え、この結果は非常に特別な場合には、得られる方法を説明するに向けていくつかの道を行く答えを与えるように思われます。しかし、私はこの分野であまり経験がなく、結果を任意のプリンシパルに一般化する方法がわかりません$G$-バンドル。誰かが自分の回答や参考資料を提供できるかどうか、上記の説明を探しています。どちらかをいただければ幸いです。

Answer 1

うまくいけば、私はこれをよく覚えています。私の顧問は私にこの計算を説明しました。私は何年前も考えたくありません。

SD方程式の変形複合体は次のとおりです。 $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

自己双対接続のモジュライ空間の次元は、この演算子のインデックスです。 $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$この演算子は、 $\Ad(P)$ オペレーター

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

これはオペレーターです $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ あなたが言及した論文で。

Atiyah-Singerインデックス理論は次のことを示しています $\ind L$ です

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

どこ $[--]_4$ 程度を示します $4$ 不均一な微分形式の一部。

推測します

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

ここで学位 $4$ から $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ のインデックス密度です $D$ Atiyah-Singerインデックス定理に登場 $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$

したがって、

$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$

今すぐ表現する $(b_1-b_2^--b_0)$ 署名に関して $\tau=b_2^+-b_2^-$ とオイラー標数 $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$。