制限について:明確な説明が必要

Aug 17 2020

我々は持っています、 $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

そしてそれは大丈夫ですが、私はよくわかりません $p\in \mathbb{R}$、私の質問は、それは本当ですか $p\in \mathbb{R}$

Symbolab Online Calculatorでこの制限の値を計算してみましたが、 $p =some$ $fraction$ $number$、しかしそれは示しています $0$答えとして。このケースのスクリーンショットはここに添付されています。

そして

誰かが私に上記の数字を証明または反証するためのアプローチまたはヒントを提供できますか?

前もって感謝します!

回答

1 Bernard Aug 17 2020 at 21:46

それは誰にでも当てはまります $p> -1$。これは実際にはリーマン和です。$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ 機能のために $f(x)=x^p$、限界あり $0$ そして $1$、したがって、収束します $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

1 user Aug 17 2020 at 21:39

ヒント

Stoltz-Cesaroを使用して取得しましょう

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$