制限を評価する $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $
はさみうちの定理を使用して、このシーケンス制限をどのように評価しますか? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$
どこから始めればいいのかよくわかりません。私はその事実を使ってみました$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (これが正解です)しかし、そこからどこに行けばいいのかわかりません。
ありがとう!
回答
私たちはそれを持っています
$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$
次に、はさみうちの定理で結論を出します。
使用できます $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$
対数の場合:式を次のように書き直します。 $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ 最初の用語は $3$。2番目には簡単な限界があります:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ したがって、 $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$
少し違う方法で $3^n$ から $(3^n+1)^{1/n}$、 あれは $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ ここで注意してください $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ すべてのための $n\in \mathbb N $したがって、私たちが到達する不平等を制限する $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ など $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$
検討する $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ 両側の対数に影響するようになりました。$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ 明らかに $n$ 無限大になると、対数内の1を省略でき、簡単に次のようになります。 $\ln{y} = \ln 3$ いつ $n$無限大になります。したがって、答えは次のとおりです。$$y = 3$$
どこ $n$ 十分に大きい $3^n$ はるかに大きい $1$、無視することができます(私たちはそれに気付くことができます $100000000000000000000$ そして $100000000000000000001$ 「ほぼ」同じです)。
そう $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ その事実によって $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ 迅速に、残りは簡単に行うことができます。
$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$