正方形を面積の5分の1の正方形に折りたたむことはできますか？
私は折り紙が大好きです、そしてそれは最近私に非常に難しいが美しいパズルのアイデアを与えました。ここの誰もがそれを解決できるかどうか本当に興味があります。
これがパズルです。マークのない、完全に正方形の大きな紙が渡されます。この正方形では、元の正方形の面積のちょうど5分の1の正方形を作成する必要があります。定規やはさみなどの道具は与えられず、紙を折るだけです。これをどのように解決しますか？
回答
これを行う方法は次のとおりです。
-用紙を両方の軸に沿って半分に折ります。これで、4つの側面すべての中点をマークしました。
-ここに描かれている騎士の移動対角線に沿って折ります：
これにより、赤い正方形が作成されます。5つの色付きの領域はすべて同じ面積であるため、赤い正方形は最初の正方形の1/5のサイズです。
紙を真ん中で水平に折ります。2つのそれぞれを折ります$1\times\frac 1 2$2つの対角線が平行になるように対角線上に長方形。紙を4分の1回転させて、まったく同じようにします。作成した4つの対角線は、正方形の領域を囲みます$\frac 1 5$。
2つの平行な対角線間の距離が $\frac 1 {\sqrt 5}$。この距離は、作成した大きな三角形の1つの対角線上の高さに等しくなります。これらの三角形には面積があります$\frac 1 4$ 一方、底辺の長さ、つまり対角線の長さは $\frac {\sqrt 5} 2$。ステートメントはすぐに続きます。
これが解決策です。同様に使用すると、任意の平方分数を得ることができます。
（長い灰色の線は1番目の灰色の線であり、比較的短い灰色の線は2番目の灰色の線です。）
1.最初に青い線を半分に複数回折りたたんで取得します。この場合、1/8の分割を取得します。
2.右端から5つの連続したそのような分割を取ります。
3.完全な正方形の右上隅と、5番目の青い線の下端である点に合うように紙を折ります（画像では、1つの青い線が4番目の青い線である黒と重なっています）。
4.「5番目の青い線の終わり」と「1つの角」を結合することによって灰色の線を取得します。5.辺がxと（5/8）* xの三角形が1つありません。
6.三角形の2番目の灰色の線（辺xと（3/8）* x）に対して同様の操作を実行します。今回は、3番目の青い線の端点を使用します。
7.紙の上端を折り曲げて、最初の灰色の線と紙の右端と交差するx / 8の長さの緑色の線を取得します。（簡単に実行できます）
8。2つの灰色の線の間の緑色の線の領域は長さx / 20。>！9.右端を折り曲げて、緑の線と2番目の灰色の線の交点から通過する赤い線を取得します。
10.これで、片側にこのx / 20の長さの測定値があり、紙を折りたたんでx / 5の長さにしてから、正方形を作成することで4回コピーできます。
ここで、長さがx / 5の場合、一方の端でx / 5の長さを取り、右端で2x / 5の長さ、上端で2x / 5の長さを取ります（したがって、これら2つの長さは互いに垂直です）
このx / sqrt（5）を使用して、大きい方の1/5の面積の正方形を作成できます。
imgurはまだ遅いPS：私は以前に大きな間違いを犯し、1/5の長さを得ました編集は今1 / sqrt（5）の長さを与えます
PS：2平方の合計がここで5 = 2 2 + 1 1を意味するように分数を書くことができれば、面積の任意の分数を取得するように一般化できます。また、本当に勤勉であれば、実際に任意の分数を取得できますが、これらの最後のステップを複数回実行する必要があります。
答えではありません。これは、Deusoviの良い答えを視覚化するためのアニメーションのみです。あなたが楽しんでくれることを望みます。
Deusoviの答えを拡張して、正方形を分数の任意の分数の正方形に折りたたむことができます $n^2/(a^2+b^2)$、 どこ $n <= a-b$。
達成するために $1/5$、選択 $n=1$、 $a=2$、 $b=1$。
でエッジを分割します $a$等しい部分。次に、「ナイトムーブ」の行を折ります$(a,b)$。これにより、$(a-b)^2$ サイズのsqaures $1/(a^2+b^2)$。今集まって$n^2$ これらのうち、目的の分数を生成します。