線積分の積分記号の下で微分するためのライプニッツの法則の使用

Question

コーシーの積分公式を証明するために線積分の下で微分することの妥当性を証明する参考文献はありますか

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

FollandのRealAnalysisテキストから定理2.27を使用できます。複素数のその定理の単純化されたバージョンは、$C,D$ コンパクトで、 $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ すべての人にとって分析的です $w$、 $\partial h/\partial w (z,w)$ 両方の引数で連続であり、すべての場合 $w\in D$ その結果 $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

本質的にこれが機能する理由は $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Follandは、優収束定理を使用して上記の動作を保証します。私たちの場合として$C\times D$ チコノフの定理によりコンパクトであり、 $\partial h/\partial w (z,w)$ 継続している $C\times D$、その後 $|\partial h/\partial w (z,w)|$ 上記の定数で囲まれている、 $M$。以来$C$ 有限測度（コンパクト）があり、次のようになります $M\in L^1(C)$ したがって、積分記号の下での微分を正当化するために、支配収束を自由に使用できます。

あなたの場合、 $C$コンパクトな円です。今のために$f(u)/(u-w)$、これはコンパクトセットでは定義されていないと言うかもしれませんが、 $w$ 小さな閉じたディスクとの値に $u$ 円にすると、関数はフォームの定義域で定義されます $C\times D$ どこ $C,D$ コンパクトです。

Answer 2

ここで注意深い証拠を見つけることができます

別の方法があります：べき級数に関する簡単な事実を使用して、整数を修正します $n,$ と書く $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ 内部 $C,$ 我々は持っています

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

その結果 $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ だが $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ 結果は次のとおりです。