選手とチケット

Question

あなたは競争をするN人のプレーヤーの1人です。宝くじは、各プレーヤーの配置を決定するために使用されます。あなたには利点があります。あなたの名前のチケットが2枚帽子に入れられますが、他のプレイヤーはそれぞれ、自分の名前のチケットが1枚だけ帽子に入れられます。帽子はよく振られ、チケットは帽子から1枚ずつ引き出されます。表示される名前の順序によって、各プレーヤーの配置が決まります。あなたが割り当てられる確率はどれくらいですか$n$の配置 $n = 1, 2, . . . , N$？

私の名前が描かれる確率 $k$3番目の試みは $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ （つまり、 $k-1$ で最初の成功の前に失敗 $k$）。私は解決策が$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$。

しましょう $A_i$ 私の名前が比較するイベントになります $i$thの試み。そう：

• $\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;

• $\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$

• $\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$。

したがって、私はそれを考えました

$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$

しかし、私は上記の製品に私を導くことはできません。私はどこが間違っていますか？

Answer 1

「名前が描かれて配置されると、その名前の将来のチケットはすべて無視される」という仮定の下で、（ほぼ）同じ結果が得られます。

$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$

がある $n-1$ 最初を扱う用語 $n-1$失敗したドローと最後の成功したドロー。抽選のチケットの数が各抽選の後に1ずつ減少するにつれて、分母は各要素で1ずつ減少します。最初に$n-1$ 項（失敗した描画）の列挙子も1減少するため、分母と列挙子の差は常に次のようになります。 $2$ それらの用語で（2枚のチケットを表す）。

その結果は次のように書くことができます

$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$

あなたの「既知の解決策」は、空の製品を $n=1$、つまり確率1を意味しますが、これは明らかに正しくありません。正しくコピーしたか確認してください。

Answer 2

ソリューションは大幅に簡素化されます。なんらかの理由で\ cancelが機能しないので、キャンセルする用語を同じ色で表示して、意味を示してみました。残念ながら、この方法では最初のいくつかの用語しか表示できません。

$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$

これを行うためのより良い方法があります。

しましょう $1\leq n\leq N$与えられる。
しましょう$A$ あなたの名前が上にあるというイベントになります $n$チケット。しましょう$B$ あなたが名前を挙げたイベントがどのチケットにも載っていないこと $1,2,\dots,n-1$。我々が求めて$\Pr(A\cap B)$。

$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$

最初の用語は明らかです。第二に、$N$ あなたの名前の他のチケットがあり得る場所、および $N+1-n$ それらの後に来る $n$チケット。

上記の簡略化を実行すると、この簡単な答えが得られます。

Answer 3

この確率実験がどのように行われているのかわからないかもしれませんが、他の人とは違う答えを得ています。たぶん誰かが私の推論が不適切である理由を指摘することができますか？

プレーヤーの名前が選択されると、その名前の将来のチケットはすべて無視されると仮定しましょう。

あなたの名前がに表示されるようにチケットを引くことができる方法の数 $n^{th}$ スロットは ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$

合計でチケットを引くことができる方法の数は ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$

これら2つを分割すると、 $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$

これを確認するために、特定の例を見ることができます。あなたが宝くじで遊んでいる人＃1だとしましょう$N-1=2$ 他の人と $ \{1,1^*\} $ からの2つの貢献チケットを表します $N+1=4$帽子のチケット。帽子の中のすべてのチケットのコレクションを次のように示します。$\{1,1^*,2,3\}$。すべてをリストできます${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ 名前の可能な順序：明示的に： $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ あなたがに割り当てられている確率 $n^{th}$ 配置は $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ にとって $n=1,2,3$ それは私には完全に理にかなっています。