シーケンスはありますか $\{f_n\}$ 収束する $L^1$？

Question

関数のシーケンスを検討してください $f_n\in L^1(\Bbb R)$ によって定義されます $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ にとって $x\in\Bbb R$。シーケンスはありますか$\{f_n\}$ 収束する $L^1$？

試みます。そうではないと思います。関数が存在するとします$g\in L^1(\Bbb R)$ そのような $f_n\to g$ に $L^1$。次にミンコフスキーの不等式によって$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ ことを意味します $\|g\|_1\geq 1.$ 一方、 $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$ここで、ルベーグ優収束定理を使用できるかどうかはわかりません。もしそうなら、私たちは得る$\|g\|_1=0$、矛盾。また、それは簡単にわかります$f_n$点ごとに零点に収束します。ありがとう！

Answer 1

簡単な答え：収束する場合、ゼロ関数にのみ収束できます。これは、$L^{1}$ サブシーケンスの収束を意味し、点ごとの制限は $0$。今$\int |f_n-0|=1$ そう $(f_n)$ に収束しない $L^{1}$。