導来関数について（Tor）

Question

しましょう $A$ 1の可換環であり、 $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ の短い正確なシーケンスである $A$-モジュール。しましょう$D$ 豆 $A$-モジュール。

私はそれを理解しています $Tor^{A}_1(D,P)=0$、次に対応する正確なシーケンス $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$Torは導来関数のままなので、正確です。

しかし逆に、与えられたテンソル積のシーケンスが正確であることがわかっている場合は、常に次のように言うことができます。 $Tor^{A}_1(D,P)=0$？

答えはイエスです（アティヤは言います）が、なぜこれが当てはまるのか理解できません。私はそれが起こることができると思います$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ しかしの画像 $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ がゼロであるため、マッピング $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ 単射です。

Answer 1

私たちは持つことができた $N=P$ そして $M=0$。これは$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ 何があっても正確 $P$ です。

代わりに、アティヤが意味したのは、打ち切られたシーケンスが $M,N$ そのような $$0\to M\to N\to P\to 0$$ 正確である場合、 $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$。