証明してください $f(W)$ のグラフです $y_{n+1} = \varphi(y_1,\cdots,y_n)$
しましょう $f: U \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n+1}$ クラスにいる $C^k,k\geq 1,$ そして $U$開いた。すべての場合$x\in U$、 $$f(x) = (f_1(x),\cdots, f_{n+1}(x)) \text{ and }\det\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg)_{1\leq i,j \leq n} \neq0,$$ その後、すべての $x\in U$、近所があります $W\subseteq U$ の $x$ そのような $f(W)$ のグラフです $C^k$ 関数 $y_{n+1} = \varphi (y_1,\cdots,y_n)$。
それを言って $f(W)$ のグラフです $\varphi$ 次のセットが等しいと言うのと同じです。
$\{(f_1(x),\cdots,f_{n+1}(x)): x\in W\} = \{((y_1,\cdots,y_n,\varphi(y_1,\cdots,y_n)): (y_1,\cdots,y_n)\in \text{Domain of $\ varphi$}\}$。
言い換えれば、私はローカルに機能があることを証明する必要があります $\varphi$ 以前の座標に応じて $f_1,\cdots,f_n$。
私が最初に気づいたのは $f'(x)$単射線形変換です。確かに、私たちは持っています$n = \dim \ker f'(x) + \dim \text{im}f'(x) \geq n + \dim \ker f'(x) \geq n \implies \dim\ker f'(x) =0,$ 以来 $f'(x)$ 少なくとも持っている $n$ 線形独立線。
今、私は正確に進む方法がわかりません。当初、私は局所的な浸漬定理を使用することを考えていました（以来$f'(x)$ 単射です）が、この定理を使用して表現する方法がわかりませんでした $f_{n+1}$ 他の面で。
機能も考えました $\pi:\mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R^n, (x_1,\cdots, x_{n+1}) \mapsto (x_1,\cdots, x_n).$
そう、 $\pi(f(x)) = (f_1(x),\cdots,f_n(x)).$ 書き込み $g = \pi \circ f$、その導関数 $g'(x)$ は可逆であるため、逆の局所微分同相写像です。 $h$。したがって、$\pi \circ f \circ h = g \circ h = I_d$ そして私達は持っています $\pi(f(h(x_1,\dots,x_n) ) = (x_1,\cdots,x_n).$ 私が「取り除く」ことができれば $\pi$ どういうわけか、この方程式は私にそれを与えるでしょう $f(h(x_1,\cdots,x_n)) = (x_1,\cdots,x_n,\varphi(x_1,\cdots,x_n))$そしてそれはwheが示す必要があるものです。しかし、私はこれを言うか、または正当化する明確な方法を見つけることができません。
何か洞察、ヒント？ありがとうございました。
回答
あなたは真実に非常に近いです。
ポイントをあげましょう $y\in{\mathbb R}^{n+1}$ 沿って $(y',y_{n+1})$ と $y'=(y_1,\ldots, y_n)$、そして $\pi:\>{\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}^n$ 最後の座標を忘れた射影になります。
任意の点を選択してください $p\in U$、そして $f(p)=:q=(q',q_{n+1})$。どこにでもあるので$${\rm det}\left({\partial f_i\over\partial x_k}\right)_{1\leq i,\,j\leq n}\ne0$$ 近所があります $W$ の $p$ そのような地図 $$f':=\pi\circ f=(f_1,f_2,\ldots, f_n)$$ マップ $W$ 近隣に異形的に $V\subset{\mathbb R}^n$ ポイントの $q'\in{\mathbb R}^n$。あります$C^1$-逆 $$g:=\bigl(f'\bigr)^{-1}:\quad V\to W\ .$$ ザ・ $C^1$ 関数 $$\phi:=f_{n+1}\circ g:\quad V\to{\mathbb R}$$ 各ポイントに与える $y'\in V$ 最後の座標 $y_{n+1}$ ポイントの $y=(y',y_{n+1})\in{\mathbb R}^{n+1}$。このグラフ$\phi$ セットです $${\cal G}=\bigl\{\bigl(y',\phi(y')\bigr)\in{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\bigm| y'\in V\bigr\}\ .$$ ご了承ください $f(W)=(f\circ g)(V)$。から$$(f\circ g)(y')=\bigl((f'\circ g)(y'),(f_{n+1}\circ g)(y')\bigr)=\bigl(y',\phi(y')\bigr)\qquad(y'\in V)$$ それはついにそれに続く $f(W)={\cal G}$。