集合論における置換的数量化

Question

単項式はありますか $\phi$ 次の特性を持つ集合論の言語で：

（私） $ZFC \vdash (\exists x)\phi(x)$

（ii）各単項式について $\psi$ 集合論の言語で $ZFC \vdash (\exists! x)\psi(x)$、 我々は持っています $ZFC \vdash (\forall x)(\psi(x) \rightarrow \neg \phi(x))$

Answer 1

いいえ、そのような式は存在しません。その理由は$L$、構成可能宇宙、定義可能な秩序があります $<_L$宇宙の。したがって、任意の式について$\phi$ そのような $L\models\exists x\,\phi(x)$、式があります $\psi_\phi$ そのような $L\models\exists!x\,\psi_\phi(x)$ そして $L\models\forall x\,(\psi_\phi(x)\to\phi(x))$、すなわち、 $\psi_\phi(x)$ と述べています $x$ それは $<_L$-最初の目撃者 $\phi$。

あなたの理論をで置き換える $\mathsf{ZFC}+V\ne L$ クラスフォーシングを使用して作成できるため、どちらも役に立ちません $V=HOD$、遺伝的に序数の定義可能な要素のクラス。この場合も、定義可能な宇宙の秩序があります。

一方、あなたが提案する式が存在することは一貫しています。もちろん、今示したように証明できるわけではありませんが、そのいくつかのモデル$M$ あなたの投稿の（i）と（ii）のバージョンをそれぞれの「$\mathsf{ZFC}\vdash$" 交換された "$M\models$"。つまり、 $g$ 本物のコーエンジェネリックである $L$、および検討する $M=L[g]$ そして $\phi(x)$ その声明 $x$ コーエンジェネリックは $L$。