その確率は何ですか $P(Y>X)$ いつ $Y$ そして $X$ 独立していますか?

Aug 25 2020

しましょう $Y\sim N(8.30;0.02^2)$ そして $X\sim N(6.60;0.01^2)$。その確率は何ですか$P(Y>X)$ いつ $Y$ そして $X$ 独立していますか?

これまでの私の解決策:

以来 $Y$ そして $X$ 独立している、 $$Y+X\sim N(\mu_Y+\mu_X,\sigma^2_Y+\sigma^2_X).$$

$$Y-X\sim N(1.7;0.02236^2).$$

確率を書くことができます

$$P(Y>X)=P(Y-X>0)=1-P(Y-X\le0)$$

確率はゼロ以上でなければならないので、 $$1-P(Y-X=0).$$

これまで正しくやったかどうかわからないし、ここから先に進む方法もわからない。

回答

3 callculus Aug 24 2020 at 23:25

$$P(Y>X)=P(Y-X>0)=1-P(Y-X\le0)$$

ここまでは正しいです。次に、方法を知る必要があります$Y-X$ 配布されます。

  1. 2つの正規分布変数の違いは、正規分布の正規分布でもあります。

  2. したがって、期待値は $\mathbb E(Y-X)=\mathbb E(Y)-\mathbb E(X)$ (期待値の線形性)。

  3. 以来 $X$ そして $Y$ 共分散は独立しています $0$。したがって、$Var(Y-X)=Var(Y)+Var(X)+2\cdot cov(X,Y)=Var(Y)+Var(X)$

これらの3つの情報を組み合わせます。

編集:差異はただです $0.01^2+0.02^2=0.0005$。近似平方根を二乗する必要はありません。$0.02236^2=0.0004999696$。これは正確な値ではありません。