その三角形の周囲を証明する $MNC$ 三角形の周囲の半分に等しい $ABC$

Question

に $ABC$ 正三角形。 $K$ の中点です $AB$。 $M$ そして $N$ 嘘をつく $AC$ そして $BC$それぞれ。場合$\angle MKN=60°$、次にその周囲の $\triangle MNC$ の半周長に等しい $\triangle ABC$。

Answer 1

まず左の写真を見てください。

鏡 $N$ に関して $CK$、 なるがままに $N'$。私たちはそれに気づきます$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$。したがって、$MKNN'$共周期的です。したがって、$\triangle MKN$に関するの鏡像 $CK$ と同じ外接円を共有します $\triangle MKN$。したがって、の中心$\triangle MKN$の外接円は上にあります $CK$。

次に、の角度二等分線を描画します $\angle CMN, \angle CNM$ で会わせて $I$。明らかに$I$ 3番目の二等分線にあります $CK$。以来$\angle MIN=120^{\circ}$、 $M,K,N,I$共周期的です。さらに、前の段落の結果と組み合わせると、$IK$その円の直径です。したがって、$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$。

したがって、 $MK$ 外角を二等分する $\angle AMN$ そして $NK$ 外角を二等分する $\angle BNM$。

次に、右の画像を見てください。に接する円を描く$AM,MN,NB$ そしてその中心を $O$。私たちはそれに気付くでしょう$MO$ 角度を二等分します $AMN$ そして $NO$ 角度を二等分します $BNM$ そう $O$ そして $K$ 本質的に同じ点です。

今ではその周囲を簡単に見ることができます $\triangle CMN$ と同じです $CP+CQ$、これは周囲の半分です $\triangle ABC$。（なぜなら$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ そしてそうします $BQ$）

Answer 2

私は問題を解決したと思います！

ポイントを取りましょう $P$ 側で $BC$ どこ $\angle NKP=60°$。次にポイントを取る$T$ PKラインで $PK=KT$。三角形$BKP$ そして $ATK$合同です。そう$\angle TAK=60°=\angle KBP$。そのことに注意してください$AMKT$外接円です。そう$\angle TAK=\angle TMK$。したがって、$TMK$ 正三角形です。

これで、三角形が確実になります $MKN$ そして $NKP$合同です。そう$MN=NK$。プトレミーの定理により、次のようになります。$AM+AT=AK$。また、それを忘れないでください$BP=AT$。

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$。