それを自分に納得させる（想像する）方法 $\Bbb S^1$-アクション $\Bbb S^3$ 球上の円を修正しますか？
それを自分に納得させる（想像する）方法 $\Bbb S^1$-アクション $\Bbb S^3$ 球上の円を修正しますか？
Jason DeVitoのこのコメントにより、のアクションを簡単に確認できます。$\Bbb S^1$ オン $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ によって定義されます $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ 円全体を修正します $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$。しかし、私はそれを想像することはできません。なぜなら、私の頭の中の行動の一般的なイメージは、円の行動は一種の回転であり、回転軸を持ち、この軸の周りを回転することで最大2点を固定できるからです。回転軸が線ではない可能性はありますか？
さて、このアクションを幾何学的にどのように考えることができますか？ $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$。
編集：最後の行動についての私の理解はそれです：$\Bbb S^3$ は時計回りに回転し、反対側は反時計回りに回転し（最初のアクションとは異なる平面で）、これらのアクションは球の中央に影響を及ぼし、中央で怖くてねじれます。円柱のように、境界を異なる方向に回転させるとねじれになります。ネジのように真ん中に。
回答
私にとって、回転についての考え方は、極大トーラスの定理の結果です。 $\mathrm{SO}(n)$。つまり、$A\in \mathrm{SO}(n)$ （つまり、 $\mathbb{R}^n$ 修正する $0$）、いくつかの根拠があります $\mathbb{R}^n$ これに基づいて、 $A$ レギュラーの束で構成されています $2$-次元回転ブロック。
より正確には、書く $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ 標準の反時計回りの回転行列の場合、常に次の正規直交基底があります。 $\mathbb{R}^n$ その中で $A$ ブロック対角形式を取ります $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
これは、ローテーションが基本的に2次元のアイデアであり、それがより高い次元にブートストラップされることを示しています。実際、それはのすべての回転を構築するためのレシピを提供します$\mathbb{R}^n$：いずれかを選択 $2$-平面にして少し回転させます。直交補空間で、任意のものを選択します$2$-平面にして回転させます。これら2つの直交補空間で$2$-飛行機、いずれかを選択 $2$-平面化して回転させるなど。
について考える $\mathbb{R}^3$ しばらくの間、 $xy$-平面は、の点からの距離を変更しません $xy$ の任意の点への平面 $z$-軸。実際には、$xy$ 平面はに影響を与えません $z$軸。上記の分解は、このアイデアがより高い次元に伝播することを示しています。たとえば、$\mathbb{R}^4$ （たとえば、座標を使用して $(x,y,z,t)$）の回転 $xy$ 平面は、の点からの距離を変更しません $xy$ の点への平面 $zt$ 飛行機。
これが、たとえば、 $\Bbb S^3$2つのものを反対方向に回転させることができます。視覚化するのは難しいですが、$xy$-飛行機はに影響を与えません $zt$-平面なので、の「ねじれ」はありません $\Bbb S^3$ あなたの行動で起こります。
一方、シリンダーアクションの場合、アクションは回転ではないことに注意してください。 $\mathbb{R}^3$シリンダーに限定されているため、上記のいずれにも当てはまりません。実際、私はシリンダーに対するあなたの行動を回転とは呼びません。これは各境界コンポーネントの回転ですが、その間に何があるかは誰にもわかりません。
でのローテーションは期待できません $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ 線である「回転軸」、つまり実寸法の何かを持つこと $1$。一方、「回転軸」は実際の余次元を持っていると予想されます$2$、それはします：飛行機全体 $w_1=0$固定されています。そして、あなたがその平面と交差するとき$S^3$ 固定された円が表示されます。
この例を視覚化したい場合は、次の事実を使用して行うことができます。 $S^3$ のワンポイントコンパクト化です $\mathbb R^3$、私は次のように書きます $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$。このモデルでは、不動点の円を単位円として視覚化できます。$x,y$-飛行機： $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ この不動点の円の外側では、アクションの他のすべての軌道は円であり、これらの円の軌道を視覚化できます。 $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ を使用して $(r,\theta,z)$次のような円筒座標。円軌道の1つは$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$。次に、一定の角度ごとに$\theta_0$、半平面 $\theta = \theta_0$ 一点で固定円を貫通します $P(\theta_0)$ 座標付き $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$、その半平面の境界エッジは $z$-軌道である軸、および半平面の残りの部分は、一方向にその単一の点に近づく円軌道のファミリーによって葉状になり、ますます小さくなり、 $z$-反対方向の軸がどんどん大きくなっている（双曲メトリックで） $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ この半平面では、これらは中心にある同心円です $P(\theta_0)$）。