すべてのキャンセル可能な可逆性のないモノイドをグループに埋め込むことはできますか？

Question

モノイドは、次の場合は可逆です。$xy=1$ 意味する $x=y=1$ すべてのために $x,y$。

質問：すべてのキャンセル可能な可逆性のないモノイドをグループに埋め込むことはできますか？

そのようなモノイドとその鏡の自由積の商（これは同じ要素と同一性を持つが乗算が逆になっているモノイドです。 $x\cdot y=yx$）は、それを埋め込むことができる「最も一般的な」グループです。

これは、自然数からの整数の構成の非可換バージョンです。

これは、問題/命題/定理として文献のどこかに現れますか？

Answer 1

いいえ、それは有限に生成されたモノイドにも当てはまりません。任意の半群を取る$S$これはキャンセル可能であり、グループに組み込まれていません（最初の例はMalcevによって作成されました）。モノイドを検討してください$S^1$ これは $S\sqcup\{1\}$ と $1$ a（新しい場合 $S$モノイド）中性要素です。その後、$S^1$グループに埋め込まれない可逆性のないモノイドです。それはキャンセル可能です$S$ 中性要素はありません。