数字を数字に分割する別の方法はありますか？

Question

オイラーの定数を視覚化したグラフを見ていました（$\gamma$）、以下のように、興味深い質問が出てきました。

背景：オイラー-マシェロニ定数は、上記のリンクされたウィキペディアのページから直接定義を取得するために、調和級数と自然対数の制限的な違いです。基本的に、「無限の自然対数」（それほど厳密ではありません）、または$\lim_{x \to \infty} \ln(x)$、は無限大であり、調和級数も無限大です。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。しかし、調和級数からこの無限の自然対数を引くと、周りに有限の数が得られます$0.57721$、オイラー-マシェロニ定数と呼ばれます。

質問：調和級数は階段関数なので、$\gamma$ は、無限に多くのセクションからの「貢献」の合計であり、以下をカバーする最初の紫色のセクションとして示されています。 $x \in [1, 2)$、2番目の紫色のセクションをカバー $x \in [2, 3)$、3番目のカバー $x \in [3, 4)$、など。

これは、次のように表される数値123のように、数値がその桁の合計であるという概念にかなり似ていることに気付きました。

現在すべての数を表現している1つの標準的なシリーズを超えて、各「数字」がシリーズの異なる用語を表す数を表現、操作、および推論できると非常に便利です。

$$\textrm{number}=\textrm{digit}_1*\textrm{base}^{n-1}\ +\ \textrm{digit}_2*\textrm{base}^{n-2}\ +\ \textrm{digit}_3*\textrm{base}^{n-3}\ +\ ...\ +\ \textrm{digit}_n*\textrm{base}^0$$

TL; DR：数学の中に、「数の桁」の概念を一般化する研究領域がありますか。これにより、真上のシリーズ以外のもので定義できるようになり、そのようなものを操作するための独自のルールと操作が可能になります。数？そのルールと操作は何ですか？

Answer 1

連分数に興味があるようです。すべての数値には、一意の連分数表現があります。同様に、すべての連分数は、任意の数に対する最良の有理近似のシーケンスを表します。連分数は、有理数である場合に限り、有限サイズです。平方根は連分数を繰り返しています。

連分数を使用して、特定の近似が「どの程度」合理的であるかを判断できます。たとえば、さまざまな求根近似近似アルゴリズムでは、数値の小数を取り、それを連続分数として記述すると、数字の1つに大きな数（無限大）が表示されるはずです。これにより、数値解が有理数に収束していることがすぐにわかります。

それらの使用例は他にもたくさんあります。

Answer 2

あなたは興味があるかもしれません $p$-たとえば、進番号$\ldots999 = -1$。（通常$p$ ただし、素数です。）