単語内の文字をアルファベット順に表示する必要がある場合は、A、B、C、D、Eを使用して8文字の単語を作成します

Question

A、B、C、D、Eを使用して8文字の単語を作成します。ここで、各文字は複数回使用できます。単語の文字をアルファベット順に表示する必要がある場合、いくつの単語を作成できますか？

例：AABBDDDE許容できる、BBBACCCE許容できない。

これを数えるために私が考えることができる唯一の方法は、各文字の出現回数で表を描き、次に各行の文字位置の順列を計算することです。

この質問を解決する簡単な方法はありますか？

Answer 1

長さのアルファベットの単語を数えても答えは同じです $13$ 各文字は少なくとも1回は表示される必要があります（各文字のコピーを1つ追加/削除することにより）。

これらを数えるために、のリストを想像してください $13$文字を保持するスロット（別名「スター」）。単語を指定するには、選択するだけです$4$ からのギャップ $12$ スロット間の内部ギャップを指定して $4$ 文字が単語内で変化する場所（別名「バー」）（つまり、AからB、BからCなど）。

これはで行うことができます $C(12,4) = 495$ 方法。

Answer 2

必要な単語の種類が文字A、B、C、D、Eの数によって一義的に決定されることに注意してください。問題は、5つの数の合計として8をいくつの方法で書くことができるかを尋ねるのと同じです。答えは ${12\choose 8}$、 なぜなのかご存知ですか？

Answer 3

考える必要がほとんどない単純なアプローチ（AlexとAlessandro Cignaの答えにはある程度の思考が必要です）。
しましょう$f(n,k)$ 目的の文字列の数 $n$ 文字の長さ $k$文字は許可されます。我々は持っています$$f(1,k)=k,\quad f(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{k-1}f(n-1,k-i).$$

f（n、k）のテーブル
n \ k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
--- + -------- + -------- + -------- + -------- + --------
 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
 2 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15
 3 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35
 4 | 1 | 5 | 15 | 35 | 70
 5 | 1 | 6 | 21 | 56 | 126
 6 | 1 | 7 | 28 | 84 | 210
 7 | 1 | 8 | 36 | 120 | 330
 8 | | | | | 495

Answer 4

あなたが持っている $8+5-1=12$ あなたが選ぶ必要があるスロット $4$。そのような選択によって、各文字が繰り返される回数が決まります。たとえば、スロット1から4を選択すると、すべてのEが取得されます。ここから対応できますか？