テンソルに対するいくつかの操作がテンソルを与えないのはなぜですか？
勾配はテンソルです $\nabla f:\mathbf{V} \to \mathbf{R}$ ここで、偏導関数はある時点で評価されます $(x_0, y_0, z_0)$。そして、あるベクトルでのこの線形形式の評価$v=(v_1,v_2,v_3)$ 与える
$$ (\nabla f)(\mathbf{v}) = \partial_x f v_1 + \partial_y f v_2 + \partial_z f v_3 $$ さらに、新しい座標系に進むと、これらの偏導関数は期待どおりに変換されます。
しかし、関数はどうですか $g:\mathbf{V} \to \mathbf{R}$ これは、の偏導関数のみを使用して定義されます。 $f$ の中に $x$ 方向。 $$ g(\mathbf{v}) = \partial_x f v_1 + \partial_x f v_2 + \partial_x f v_3 $$ 私が理解しているように、これはテンソルとは見なされません。新しい座標系に移動すると、正しく変換されないためです。
これは私を際限なく混乱させました。厳密な定義では、次のようなマップが考慮されます。$f:\mathbf{V} \to \mathbf{R}$各パラメーターに線形性が保持されている場合はテンソル。関数$g$上記は確かにそれを満たしています。この定義は使用されておらず、実際に使用されるテンソルの定義は2つの部分で構成されているように思われます。
- 各パラメーターの線形性（つまり、多重線形形式）、
- 係数の代数的構造は座標変換で維持されます
計算したら $\partial_x f$ それは単なるスカラーであり、 $(\partial_x f,\partial_x f,\partial_x f)$ 共変ベクトルの通常の変換を使用して、 $g$新しい座標系で。これらの新しい係数が正しい代数的構造を持たないということは、$g$どこかに行って。これはまったく正しいですか？
回答
ベクトルとその基底依存表現について覚えておくべき基本的なことは、基底が任意であるということです。誰でも、選択の基準に基づいて、ベクトル空間で任意のベクトルを表現する権利があります。基底で表現すると、ベクトルは次のようになります。$n$-スカラーのタプル、ただし基底変換の変更の約束がない限り、任意 $n$-スカラーのタプルは実際にはベクトルを定義しません。
テンソルは同じですが、基底変換式の変更には基底行列の変更の複数の要因が含まれることが約束されている必要があります。
それを達成するための数学者の好ましい方法は、ベクトル空間やそれらから構築されたテンソルのようなものの座標フリーの定義を与えることです。ただし、基底変換の直後に動作しない限り、実際にはベクトルとテンソルがないことを覚えている限り、ベクトルとテンソルをそれらの座標成分で考えることも問題ありません。
そして、それはベクトル空間からのベクトルとテンソルです。多様体上のベクトル場とテンソル場を考えるとき、接空間に基づく基底変換の代わりに、多様体の座標変化を考慮します。これにより、接空間とテンソルの基底変換が接空間から外れます。テンソルはテンソル場とは異なりますが、簡潔にするために、テンソルとも呼ばれることが多いので、両方に対処しましょう。
線形代数では、ベクトル空間からテンソルを作成できます $V$、タイプのテンソル $(p,q)$ のテンソル積の要素です $p$-のコピーの多く $V$ そして $q$-そのデュアルスペースの多く $V^*$。あなたの場合、地図$V\to \mathbb{R}$ ランクのテンソルです $(0,1)$、上の線形汎関数または双対ベクトルとしても知られています $V$。必要に応じて、いくつかの固定機能のために$f(x,y,z)$ といくつかの座標 $(a,b,c)$、導関数を計算し、それらの座標で評価して数値を取得できます $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial y}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial z}(a,b,c)$。次に、それらをトリプルに組み立てることができます$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial y}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial z}(a,b,c)\right)$ そしてそれをあなたのベクトル空間上の線形汎関数であると宣言します。
あなたの機能以来 $f$ とあなたの座標 $(a,b,c)$ベクトル空間とは何の関係もありませんでした。そのコンポーネントを1つの基準でこれであると宣言できます。誰かが自分が別の基底で何であるかを知りたい場合は、基底変換マトリックスを適用するだけです。したがって、$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial y}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial z}(a,b,c)$は、3次元ベクトル空間で有効な線形汎関数です。タイプのテンソルです$(0,1).$
最初にテンソルのコンポーネントをどのように選択したかは特に重要ではないため、次の3つの異なる数値を選択することもできます。 $\left(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c),\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,c)\right).$ それはタイプの有効なテンソルでもあります $(0,1).$
要約すると、単一のベクトル空間の線形代数に関する限り、両方 $(\partial_xf,\partial_yf,\partial_zf)$ そして $(\partial_xf,\partial_xf,\partial_xf)$ テンソルです。
これらを多様体上のテンソル場と見なそうとすると、問題が発生します。
微分幾何学では、同じことを行い、ベクトル空間からテンソルを作成します。今を除いて、ベクトル空間は多様体の接空間です$M$。そしてそれはポイントごとに異なります。テンソルは、接空間のいくつかのコピーのテンソル積の要素です。$T_xM$ ある程度まで $x$ 余接空間のいくつかのコピー $T_xM^*$。
多様体上にテンソル場を作成するには、多様体の各点での接空間のテンソル積からテンソルを選択する必要があります。
滑らかな多様体は、局所的に次のように見えるものです $\mathbb{R}^n$、したがって、ローカル座標を許可します。それらの局所座標で表される、タイプのテンソル$(p,q)$ の配列です $n^pn^q$ 上の機能 $M$。しかし、任意の点の周りで異なる座標を選択することができ、任意の座標でテンソルを表現するための書き込みがあります。座標を変更すると、接空間とその双対空間の基礎も変更されます。つまり、線形代数の基底変換の変更と、同時に座標関数の座標の変更のようなものです。
これは、テンソルがどのように見えるかについての制約です。基底変換は、座標の変更と一致する必要があります。2つの座標も交換せずに、2つの基底ベクトルを交換することはできません。関数によって座標を変更すると、接空間の基底はその関数のヤコビアンによって変更されます。
だからこれが理由です $(\partial_xf,\partial_xf,\partial_xf)$微分幾何学の意味でのテンソルではありません。座標を変更すると、テンソルは$z$-によるコンポーネント $z$-座標関数の変化の偏導関数。ただし、オブジェクトはすべてのコンポーネントを$x$-デリバティブ。
クリストッフェル記号がテンソルではないのもそのためです。テンソルの導関数として、テンソルに必要な基底行列の純粋な変化ではなく、追加の項で変化します。これを確認する最も簡単な方法は、1つの座標系でゼロであるテンソルは、すべての座標系でゼロでなければならないということです。これは、クリストッフェル記号では不十分です。
滑らかな関数の配列がテンソルである場合、それらはテンソルであるという定理があります。 $C^\infty(M)$ベクトル場の関数として見た場合、線形。クリストッフェル記号もそのテストに失敗します。
まず第一に、私たちが機能を持っている場合 $f:\Omega\to\mathbb R$、どこで言いましょう $\Omega$ のドメインです $\mathbb R^3$、その後 $\nabla f(p)$ ベクトル場です $$\Omega\to\mathbb R^3$$ 矢印を割り当てる $\nabla f(p)$ で $p$。しかしまた地図$\Omega\to L(\mathbb R^3,\mathbb R)$ それぞれに割り当てます $p$ に $\Omega$ 線形マップ $\nabla f(p):\mathbb R^3\to\mathbb R$ によって与えられた $$\nabla f(p)\cdot \mathbf v=\mathbf v^1\frac{\partial f}{\partial x}(p)+ \mathbf v^2\frac{\partial f}{\partial y}(p)+ \mathbf v^3\frac{\partial f}{\partial z}(p), $$ そしてどのように理解することができます $f$ 方向が変わる $\mathbf v$ で $p$。
次に、座標が変更されたとします。 $\Phi:\Gamma\to\Omega$、これは導関数を持つ微分可能マップです $J\Phi$ どこでもランク3の $\Gamma\subseteq\mathbb R^3$、私たちが持っているところ $\Phi(q)=p$ ユニークな $q$ に $\Gamma$。
そう $f\circ\Phi:\Gamma\to\mathbb R$ （次の場合は微分可能 $f$ is）そしてチェーンのルールによる $\nabla(f\circ\Phi)=\nabla f\cdot J\Phi$ 使って $\Gamma$、および $q$ $$\nabla(f\circ\Phi)(q)=\nabla f(p)\cdot J\Phi(q).$$
そう思うなら $\Phi:(u,v,w)^{\top}\mapsto(x,y,z)^{\top}$ 古い座標の新しい座標への依存性です。
$$\left[ \frac{\partial f\circ\Phi}{\partial u}(q)\quad \frac{\partial f\circ\Phi}{\partial v}(q)\quad \frac{\partial f\circ\Phi}{\partial w}(q)\right] =$$ $$ \left[\frac{\partial f}{\partial x}(p)\quad \frac{\partial f}{\partial y}(p)\quad \frac{\partial f}{\partial z}(p) \right] \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial x}{\partial u}(q)&\dfrac{\partial x}{\partial v}(q)&\dfrac{\partial x}{\partial w}(q)\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}(q)&\dfrac{\partial y}{\partial v}(q)&\dfrac{\partial y}{\partial w}(q)\\ \dfrac{\partial z}{\partial u}(q)&\dfrac{\partial z}{\partial v}(q)&\dfrac{\partial z}{\partial w}(q)\\ \end{array} \right], $$ つまり、 $$\frac{\partial f\circ\Phi}{\partial u}(q)= \frac{\partial f}{\partial x}(p)\frac{\partial x}{\partial u}(q)+ \frac{\partial f}{\partial y}(p)\frac{\partial y}{\partial u}(q)+ \frac{\partial f}{\partial z}(p)\frac{\partial z}{\partial u}(q), $$ $$\frac{\partial f\circ\Phi}{\partial v}(q)= \frac{\partial f}{\partial x}(p)\frac{\partial x}{\partial v}(q)+ \frac{\partial f}{\partial y}(p)\frac{\partial y}{\partial v}(q)+ \frac{\partial f}{\partial z}(p)\frac{\partial z}{\partial v}(q), $$ そして $$\frac{\partial f\circ\Phi}{\partial w}(q)= \frac{\partial f}{\partial x}(p)\frac{\partial x}{\partial w}(q)+ \frac{\partial f}{\partial y}(p)\frac{\partial y}{\partial w}(q)+ \frac{\partial f}{\partial z}(p)\frac{\partial z}{\partial w}(q), $$ のコンポーネントです $\nabla(f\circ\Phi)$ で $q$ （誰がで何が起こるかを制御します $p$新しい座標で）。そう、$\nabla f$あるランク1つのテンソル。
第三に、地図の場合 $\mathbf V\times\mathbf V\to\mathbb R$似たようなものに準拠するものは、勾配操作に存在しない場合、ランク2テンソルと呼ばれます。