上の曲線の属を計算する $\mathbb Q$
リーマン・フルヴィッツを介して、非代数的閉体上の曲線の属を計算しようとしています。
しましょう $K = \mathbb Q(t)$ と $t$ 超越、そしてしましょう $F$ の拡張である $K$ の根に隣接することによって得られる $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
以来 $K$射影空間に関連付けられており、属はゼロです。しましょう$g$ に同型の関数体を持つ滑らかな曲線の属である $F$。それからリーマン・フルヴィッツはこう言います $$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
判別式からは、曲線が2点で分岐しているように見えます。 $\infty$ そして $(t^2 - 10t - 5)$ 分岐指数付き $2$それぞれで。これは与える$g=0$。
私がベースチェンジした場合 $\mathbb Q(\alpha)$ どこ $\alpha$ のルートです $t^2 - 10t - 5$、マップは3つのポイントで分岐するように見えます。 $\infty$、 $t-\alpha$、および $t-\alpha'$、の共役 $\alpha$、すべてインデックス付き $2$。しかし、それは属になります$1/2$ 属は幾何学的不変式だと思った上に、これはばかげています。
なぜ2つは異なって動作するように見えるのですか、特に最後の計算で何が問題になっているのですか？
回答
これが私がコメントでほのめかしたリーマン・フルヴィッツの定理の声明です。（Rosen、関数フィールドの数理論、定理7.16、p.90）。
定理。しましょう$L/K$関数フィールドの有限で分離可能な幾何学的拡張である。次に $$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ どこ $\mathfrak{D}_{L/K}$ 別の理想です。
のすべての分岐素数の場合 $L$ 飼いならされた分岐があります（これは、グラウンドフィールドに特性があるためです。 $0$）、次に $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$、したがって、式は次のようになります $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
あなたの例に目を向けると、あなたの間違いはそれです $F$ 上記に分岐していません $\infty$。これを幾何学的に確認する方法は次のとおりです。定義する曲線を均質化する$F$、曲線を取得します $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$、 どこ $x = X/Z$ そして $t = Y/Z$、そして私たちは地図を検討しています $\pi: C \to \mathbb{P}^1$、 $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$。計算します$\pi^{-1}([1:0])$、プラグイン $Z = 0$ の方程式に $C$、取得 $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ そう $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$。以来$\sum_i e_i f_i = 2$ 基本的なアイデンティティによって、そして $f_i = e_i = 1$、 そう $\pi$ 上で分岐していない $\infty$。
より機能的な場の理論的アプローチについては、 $s = 1/t$ そして $r = x/t = xs$。次に、の最大順序$F$ 無限大では $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$。上記の分割を決定するには$\infty$、どのように調べるか $sR$要因。定義する方程式を使用する$R$、 我々は気づく $sR = (r-1,s)(r+1,s)$、およびこれらの素数は異なるので、 $F$ 上で分岐していない $(s)$。
しましょう $\P = (x)$ そして $P = (t^2 - 10t - 5)$。の剰余体$\P = (x)$は \ begin {align *} \ frac {\ mathbb {Q} [t、x] /（x ^ 2-（t ^ 2-10t-5））} {（x）} \ cong \ frac {\ mathbb { Q} [t]} {（t ^ 2-10t-5）} \ end {align *} これには次元があります$2$ として $\mathbb{Q}$-ベクトル空間なので $\deg_L(\P) = 2$。
リーマン・フルヴィッツを適用すると、 \ begin {align *} 2g_L-2 = 2（2 \ cdot 0-2）+（e（\ P / P）-1）\ deg_L（\ P）= -4 +（2 -1）\ cdot 2 = -2 \ end {align *} so$g_L = 0$、私たちが望んでいたように。