指輪についての2つの質問 $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$

Question

私は環論でこの特定の質問を解決することができません。これは私が準備している修士試験で尋ねられました。

しましょう $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ 。

（a）それを証明する $A$ 2つの整域の直接積です。

（b）リングですか $A$ 同型 $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$？

私はによって知ることができます $X^{3}-1$ 今の要素は $ax^2+bx+c$、 $a,b,c$ 所属 $\mathbb{Q}$。しかし、私には、どの整域がこのリングを作るかについての直接的な手がかりはありません。

また、2番目の場合、マップを次のように定義する際に問題が発生します。 $X^3$2番目のリングで-1として機能します。私は地図が好きではないと思います$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ このマップは機能しないので機能します $1-1$。

だから、誰かが私がこれらの問題の両方にどのように取り組むべきか教えてもらえますか？

Answer 1

ヒント：

（）を使用し、中国剰余定理リングのためにそれを言って、$A$ と理想 $\mathfrak a,\mathfrak b$ の $A$ そのような $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$、 $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$。さらに、商環$\mathbb Q[X]/(f(X))$ は整域です。 $(f(X))$ 素イデアルは $f(X)$ 既約です（ $\mathbb Q[X]$ はPIDです）。

（b）私は主張します $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$同型です。すべての公理が保持されていることを確認してください。

Answer 2

（a）Kenta Sが述べたように、 $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ そして $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$、 我々は持っています $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ など $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$中国の剰余定理による。明らかに、$x^2-x+1$ そして $x-1$既約です。したがって、$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ そして $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ ドメインです。

（b）明らかに、 $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$。また、$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ 沿って $x\to -x$。したがって、$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$。