有理数はいくつ $m/n$ 与えられた条件下で可能ですか？

Question

有理数の数を見つける $m/n$、 どこ $m,n$ 互いに素な正の整数である $m<n$ そして $mn=25!$。

私のアプローチ：

しましょう $25!=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\ldots19^{a_8}23^{a_9}$

今 $\gcd(m,n)\Rightarrow\ $ 場合 $p|m$ その後 $p\not|n$

ケースI：

有る $1$ の素因数 $m$
したがって、有理数の数 $m/n=\binom{9}{1}$

ケースII：

がある $2$ の素因数 $m$
したがって、有理数の数 $m/n=\binom{9}{2}$

ケースIII：

がある $3$ の素因数 $m$
したがって、有理数の数 $m/n=\binom{9}{3}$

ケースIV：

がある $4$ の素因数 $m$
したがって、有理数の数 $m/n=\binom{9}{4}$

これらの有理数のいずれかにある場合、 $m>n$、次に交換 $m$ そして $n$ 有効な有理数になります。

例：いくつかの場合 $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}$、 $m>n$、次に交換 $m$ そして $n$ 与えるだろう $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}$、つまり今 $m<n$ したがって、有効な有理数を与えます。

したがって、可能な有理数の数は次のようになります。 $\binom{9}{1}+\binom{9}{2}+\binom{9}{3}+\binom{9}{4}+1=2^8$

今、これが正しいかどうかはわかりませんし、私が参照している本は解決策を提供していません。したがって、このソリューションを確認し、提案を提供してください。

ありがとう

Answer 1

上記のコメントでluluが提供するヘルプによると、luluが提供するこのソリューションは、より単純で優れていると思います。

しましょう $S$ 素数のセットになる $<25$。 $$S=\{2,3,\ldots19,23\}$$

要因の選択 $m$ これはサブセットを選択するのと同じです $M\subseteq S$ と $N\subseteq S$ 補完セットとして。 $(M\cap N=\phi)$

以来 $S$ 持っている $9$ 要素、そのようなサブセットの数 $M=2^9$。

また $M\neq N$ または $m\neq n$ 以来 $\gcd(m,n)=1$。

状態を考慮した後 $m<n$、そのようなサブセットの数 $M$ したがって、有理数 $=2^9/2=2^8$