Z | Y〜Bin（p、y）およびY〜Poisson（L）の場合、Z〜Poisson（p * L）？[複製]
以前にこの質問に答えたかどうかを確認しましたが、表記の関係で見づらいです。私は次の2つのRVを定義する論文を読んでいます$$ z \mid y \sim Binomial(\pi, y) \\ y \sim Poisson(\lambda) $$ 次に、（統合とベイズの定理によって）次のように結論付けます。 $$ z \sim Poisson(\pi \cdot \lambda) \\ y - z \sim Poisson( (1 - \pi)\cdot \lambda) $$
私は紙でそれを試しましたが、私は訓練を受けた統計学者ではないので、どこが間違っているのかわかりません。導き出したいなら$z \sim Poisson(\pi\lambda)$、次に条件付き確率を使用します。 $$ p(z) = \int_y p(z, y) \,\, dy $$ どこ $p(z, y)$は同時確率です。これを拡張して、私は持っています$$p(z) = \int_y {y\choose z} \pi^z (1 - \pi)^{(y - z)} \frac{e^\lambda \lambda^y}{y!} \, \, dy $$ でもどういうわけか次の方程式にたどり着かなければならないと思います $$p(z) = \frac{e^{\pi\lambda} (\pi\lambda)^{z}}{z!}$$しかし、このフォームを取得するために上記の積分を操作することはできませんでした。それが可能かどうかはわかりません。
回答
これは、かなり標準的な分布理論に基づいています。定義する$Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$ そして $Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ 独立して、 $Y = Y_1 + Y_2$ そして $Z = Y_1$。次に、次の事実がすぐに導き出されます。
$Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ （モーメント母関数を計算することで確認できます）。
$[Z \mid Y = y] \sim \text{Binomial}(\pi, y)$ なぜなら、独立性を利用して、
$$ f(z \mid y) = \frac{\Pr(Y_1 = z, Y_2 = y - z)}{\Pr(Y = y)} = \binom{y}{z} \pi^z (1 - \pi)^{y-z} $$
- 定義上、それは真実です $Y - Z = Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ そしてそれ $Z = Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$、あなたが望む結果です。
したがって、存在します $Z$ そして $Y$ 必要なプロパティを使用しますが、同時分布は条件によって一意に特徴付けられるため、 $(Z,Y)$したがって、これはすべての人に当てはまります $Z$ そして $Y$ あなたの条件を満たす。
その代数のビットですが、ここに私の試みがあります
関係のない用語を抜いた後の密度の表現 $y$ です
$$ p(z) = \pi^z \exp(\lambda) \sum_{z \leq y} \binom{y}{z} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{y!}$$
ザ・ $y!$ 二項係数からキャンセルします
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{{z \leq y}} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{(y-z)!}$$
そして、インデックスは $0\leq y-z$、それからしましょう $k=y-z$
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k+z}}{(k)!}$$
もっと単純化する
$$ = (\lambda\pi)^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k}}{(k)!}$$
合計が次の式であることに気付くでしょう $\exp(\lambda - \lambda \pi)$
そして、私たちは
$$ p(z) = (\lambda \pi)^z \dfrac{\exp(-\pi\lambda)}{z!}$$
私が信じているのは
$$z \sim \operatorname{Poisson}(\pi \lambda)$$
取得するため $E(Z)$ そして $Var(Z),$これは、確率変数のランダムな合計と見なすことができます。特に、$Z$ は乱数の合計です $Y$ それぞれ成功確率を持つベルヌーイ確率変数の $\pi.$
これは、の100,000のシミュレートされた実現のヒストグラムです。 $Z,$ を使用して $\lambda = 20, \pi = 0.4$ の正確な確率（赤い円の中心）とともに $\mathsf{Pois}(8).$
set.seed(2020)
lam = 20; pp = 0.4
y = rpois(10^5, lam)
z = rbinom(10^5, y, pp)
summary(z)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 6.000 8.000 8.001 10.000 22.000
mx = max(z); cutp = (-1:mx)+.5
hdr = "Histogram of Simulated Z with Density of POIS(8)"
hist(z, prob=T, br=cutp, col="skyblue2", main=hdr)
points(0:mx, dpois(0:mx, pp*lam), col="red")
注：（1）@aleshingは正しいので、離散性のため、積分は合計として扱われる必要があります。
（2）において、Rコード：使用できないpiため$\pi$それはR.た場合の予約定数であるためy、戻りに起こります$0,$ rbinom 戻るようにプログラムされています $0.$
（3）関心がある場合：確率変数のランダムな合計に関するUNLコースの配布資料。