Ableitung der Tiefpass-Bandpass-Transformation

Dec 04 2020

Ich habe eine grundlegende Frage.

Die "bekannte" Tiefpass-Bandpass-Transformation ist $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ was eine Bandpassübertragungsfunktion von ergibt $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Meine Intuition ist, dass ein Bandpass das Produkt eines Tiefpasses und eines Hochpasses sein sollte. Dieses Produkt bietet jedoch eine andere Übertragungsfunktion:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ Dies zeigt an, dass die Bandpass-Transformation diese Kaskade von Tiefpass und Hochpass nicht ergibt.

  • Meine Frage ist, wie ist die Bandpass-Transformation aufgebaut, entweder durch Kombination von Tiefpassfiltern oder durch Polplatzierung?

  • Verwandte Frage, aber unter Verwendung einer anderen Ableitungstechnik, und es wird auf die Tiefpass- / Hochpassableitung Bezug genommen, aber es wird nicht gezeigt: Wie wird die Tiefpass-Bandpass-Transformation abgeleitet?

Antworten

4 MattL. Dec 05 2020 at 00:30

Sie haben Recht, dass die Multiplikation eines Tiefpass- und eines Hochpassfilters zu einem Bandpassfilter führt, solange die Grenzfrequenz des Tiefpasses höher ist als die Grenzfrequenz des Hochpasses. Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass Tiefpass- und Hochpassfilter mit Größenantworten, die gemäß einem ausgewählten Kriterium (Butterworth, Chebyshev, Cauer) optimal sind, nicht zu einem optimalen Bandpassfilter führen.

Andererseits führt die Abbildung eines einzelnen optimalen Filters zu einem anderen optimalen Filter. Verwenden von$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, wo $\omega_l$ und $\omega_u$ sind untere bzw. obere Bandkanten und $\omega_0$ ist die Mittenfrequenz des Bandpassfilters, und der Einfachheit halber kann die Transformation so geschrieben werden, dass Konstanten weggelassen werden

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Beachten Sie, dass $\omega_l$ und $\omega_u$ werden als bezeichnet $\omega_1$ und $\omega_2$ im OP, aber sie werden in der folgenden Abbildung anders verwendet.]

Das Mapping $(1)$ Karten DC ($\omega=0$) auf die gewünschte Mittenfrequenz $\omega_0$. Außerdem,$s=\pm\infty$ ist zugeordnet $s=0$ und $s=\infty$. Somit wird die gesamte Frequenzachse des Tiefpassfilters auf die positive Frequenzachse des Bandpassfilters abgebildet. (Gleiches gilt für die negative Halbachse des Bandpassfilters):

(aus: Digital Filter Design von Parks und Burrus)