alle $A_i$ sind Sätze so verbunden, dass $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ dann $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ ist verbunden [Duplikat]

Question

Das ist mein Beweis

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Angenommen, nicht. Dann,$\cup A_i$ hat eine offene Partition $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ Wir müssen also nur zwei Fälle zeigen:

1. $U \subseteq \cup A_j$ mit $U \neq \cup A_j$ für einige $J \subseteq E$. Dann gibt es einige$A_k$ so dass $U \neq A_k$ mit $U \cap A_k \neq \emptyset$. So$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ ist eine offene Partition von $A_k$. Unter der Annahme,$A_k$Ist verbunden. Es ist ein Widerspruch zu [$\cup A_i$ ist nicht verbunden]

2. $U= \cup A_t$ für einige $T \subseteq E$. Schon seit$V \neq \emptyset$gibt es einige $A_k$ so dass $(A_k-U) \neq \emptyset$. Lassen$J=T \cup \{k\}$. Dann ist es in Fall 1 ein Widerspruch zu [$\cup A_i$ ist nicht verbunden]

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Ist es ok??
Ich bin mir darüber nicht sicher...

Answer 1

Es gibt einige Dinge, die ich in Ihrem Beweis nicht verstehe. Speziell:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : An welchem ​​Set wird die Gewerkschaft durchgeführt?

2. Gleiche Dinge für Fall 2. mit $T$.

Ich würde nur sagen als $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ soll nicht leer sein, nehmen wir $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.

Wie durch Hypothese $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ wir können ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen als $x \in U$ (Wir können die Rolle von tauschen $U,V$ im anderen Fall).

Nun zu jedem $j \in J$, $A_j$ soll verbunden sein und $x \in A_j$. Deshalb$A_ j \subseteq U$ und schlussendlich $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ Beweis, dass die Gewerkschaft verbunden ist.