Alternative Beweisanfrage: Wenn $C=\{x^2,x\in S\}$, zeige, dass $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$

Question

Diese Frage hat nur eine Antwort unter Verwendung von Theoremen, die auf der Kontinuität einer nicht abnehmenden Funktion beruhen. Obwohl ich (glaube ich) die Antwort verstehen kann, habe ich dieselbe Übung, aber wir haben die Kontinuität noch nicht studiert, wir studieren reelle Zahlen und bereiten uns darauf vor, Sequenzen zu studieren. Vielleicht, weil ich diese Antwort sehe, sehe ich den einzigen Weg, dies zu beweisen, darin, auch Kontinuität zu verwenden, aber es muss einen Weg geben, ohne diese Sätze über Kontinuität zu verwenden. Könnte mir jemand den Weg zeigen, dies nur mit reellen Zahlen / Supremum / Infimum / etc-Eigenschaften zu beweisen?

Jede Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

Hinweis

• Annehmen $S\subset [0,\infty )$. Lassen$c=\sup C$ und $s=\sup(S)$. Lassen$\varepsilon >0$. Es gibt$x\in C$ st $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$. Da gilt es für alle$\varepsilon >0$wir $c\leq s^2$.

• Nehme an, dass $c<s^2$dh da ist $x\in S$ st $c<x^2\leq s^2$. Dies widerspricht der Tatsache, dass$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$.

Deshalb $c=s^2$ wie gewünscht.

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Ich lasse Sie den Beweis für den Fall anpassen, wo $S\subset \mathbb R$ Anstatt von $S\subset [0,\infty )$ nur.