Angesichts des charakteristischen (und minimalen) Polynoms von $T:V\to V$Wie viele verschiedene Jordanformen sind möglich?

Question

Ich löste einige Routineprobleme bei der Bestimmung der möglichen Jordan-Formen eines linearen Operators angesichts der charakteristischen und minimalen Polynome, und mir kam ein interessanter Gedanke in den Sinn! Alle Kombinatorik-Enthusiasten da draußen sollten einen Blick darauf werfen.

Gibt es eine Möglichkeit, die Anzahl der Jordan-Formen angesichts des charakteristischen Polynoms von zu kommentieren? $T:V\to V$?

Sagen wir $$p_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$$

ist das charakteristische Polynom von $T:V\to V$. Gibt es eine geschlossene Lösung, um die Anzahl der Jordan-Formen zu beschreiben, die diesem Polynom entsprechen? Zwei Jordan-Formen gelten als gleich, wenn sie aus denselben Jordan-Blöcken bestehen (beliebige Permutation) .

Was ist, wenn mir auch das minimale Polynom von gegeben wird ?$T$nämlich $m_T(t)?$ $$m_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$$ wo $1\leq m_i\leq n_i$ für alle $i=1,2,...,k$

Die Antwort reduziert sich definitiv, da wir mehr Einschränkungen auferlegt haben, aber um wie viel? Wie lautet die Nummer genau?

Ich denke, die folgenden Ideen werden sehr wichtig sein, um die Antwort zu bestimmen, obwohl ich mit ihnen etwas Konkretes nicht ganz herausfinden konnte:

• Die Summe der Größen aller Jordan-Blöcke entspricht $\lambda$ ist gleich der Vielzahl von $\lambda$ im $p_T(t)$.
• Die Größe des größten Jordan-Blocks entspricht $\lambda$ ist gleich der Vielzahl von $\lambda$ im $m_T(t)$.

Vielen Dank und ich freue mich auf eine interessante Diskussion!

Answer 1

Es kann nicht viel mehr gesagt werden als das, was Sie am Ende beobachtet haben. Ein Multiset positiver Ganzzahlen, deren Summe ist$n$heißt eine Partition von$n$und die Anzahl solcher Partitionen wird üblicherweise geschrieben $p(n)$. Also eine jordanische Normalform mit charakteristischem Polynom$\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$ besteht nur aus einer Partition von $n_i$ für jede $i$, so ist die Anzahl von ihnen $$\prod_{i=1}^kp(n_i).$$ Es ist jedoch keine geschlossene Form für bekannt $p(n)$ (und in dem Fall $k=1$ist Ihr Problem gleichbedeutend mit der Suche nach einem geschlossenen Formular für $p(n)$).

Ebenso die Anzahl der Partitionen von $n$ in Teile, so dass der größte Teil ist $m$ kann geschrieben werden als $p_m(n)$, wenn Sie also zusätzlich das minimale Polynom benötigen $\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$ dann ist die Anzahl solcher jordanischen Normalformen $$\prod_{i=1}^kp_{m_i}(n_i).$$ Auch hier ist jedoch keine geschlossene Form bekannt $p_m(n)$.