Anwendung der Induktion bei der Analyse der Konvergenz eine Sequenz rekursiv definiert.
Lassen $\left\{a_{n}\right\}$ rekursiv definiert werden durch $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ Bestimmen Sie für welche $a_{1}$ Die Sequenz konvergiert und findet im Falle einer Konvergenz ihre Grenze.
Mein Ansatz: Beachten Sie das$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ also erstens möchte ich finden $a_{n}$. Jetzt habe ich versucht, ein Muster zu finden, aber ich kann dieses nicht finden \ begin {eqnarray *} n = 1 & \ impliziert & a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1) - (3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2}) - (3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \ impliziert & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left (\ frac {1} {4- 3a_ {1}} \ right)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1}) - 3} \\ \ vdots & \ impliziert & \ vdots \\ \ end {eqnarray * } Wenn ich weiß$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, damit ich den Nenner analysieren kann, um zu schließen, wann $a_{n}$ ist nicht definiert.
Wie kann man finden $a_{n}$?
Ich weiß auch, dass dieses Problem hier beantwortet wurde . Aber ich denke, wir können eine elementare Lösung finden, indem wir Induktion aktivieren$n$.
Antworten
Wenn die Sequenz konvergiert $L$Die Begrenzung auf beiden Seiten der Wiederholung zeigt, dass
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
oder $3L^2-4L+1=0$. Die quadratischen Faktoren schön:$(3L-1)(L-1)=0$Die einzig möglichen Grenzen sind also $L=\frac13$ und $L=1$.
Die Reihenfolge ist eindeutig undefiniert, wenn $a_1=\frac43$ und konstant wenn $a_1=\frac13$ oder $a_1=1$.
- Wenn $a_k<1$, dann $1<4-3a_k$, und $0<a_{k+1}<1$.
- Wenn $a_k>\frac43$, dann $a_{k+1}<0$, so $0<a_{k+2}<1$.
- Wenn $1<a_k<\frac43$, Lassen $r=a_k-1$;; dann$0<3r<1$, so $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ Die Sequenz kann kein Limit in haben $\left(1,\frac43\right]$, also trifft es entweder $\frac43$ und stirbt, oder $a_\ell>\frac43$ für einige $\ell>k$, und dann $a_n\in(0,1)$ für alle $n\ge\ell+2$.
Also wenn $a_1$ erzeugt tatsächlich eine unendliche, nicht konstante Folge, in der diese Folge endet $(0,1)$. Was passiert da?
- Wenn $\frac13<a_k<1$, Lassen $r=a_k-\frac13$. Dann$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ so $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ und $a_{k+1}<a_k$. In diesem Fall muss die Sequenz konvergieren$\frac13$.
- Wenn $0<a_k<\frac13$, Lassen $r=\frac13-a_k$. Dann$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ so $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ und $a_{k+1}>a_k$. Wieder konvergiert die Sequenz zu$\frac13$.
Das haben wir jetzt gezeigt $a_1=1$ ergibt die konstante Sequenz $a_k=1$ für alle $k\ge 1$und jeder andere Anfangswert ergibt entweder eine Sequenz, die zu konvergiert $\frac13$ oder eine, die schließlich stirbt, weil einige $a_k=\frac43$. Es bleibt nur zu bestimmen, für welche Anfangswerte einige$a_k=\frac43$.
Lösen $y=\frac1{4-3x}$ zum $x$, wir glauben, dass $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$. Lassen$b_1=\frac43$, und für $k\ge 1$ Lassen $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Es ist leicht durch Induktion zu zeigen$k$ Das $a_k=\frac43$ dann und nur dann, wenn $a_1=b_k$, so $\{b_k:k\ge 1\}$ ist die Menge der Anfangswerte, die keine konvergente Sequenz ergeben, und es bleibt nur eine geschlossene Form für die Zahlen zu finden $b_k$.
Wenn wir schreiben $b_k$ als Bruchteil $\frac{c_k}{d_k}$, dann
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
so $c_{k+1}=4c_k-d_k$, und $d_{k+1}=3c_k$mit Anfangsbedingungen $c_1=4$ und $d_1=3$. Dann$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$, also durch Induktion $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ für alle $k\ge 1$. Es folgt dem$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$. Lösen der Wiederholung$c_{k+1}=3c_k+1$ mit Anfangswert $c_1=4$ nach jeder Standardmethode finden wir das
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
und daher das
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
so dass
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
Update: Danke Brian M. Scott für Ihren Einblick.
Ich werde den Fall hinzufügen, wo einige $a_k=\frac 43$. Per Brian müssen wir für die Sequenz lösen$b_k$ so dass $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Dies kann auf ähnliche Weise gelöst werden, ist aber einfacher, weil$b_1$ gegeben ist.
Beachten Sie, dass $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
Von $(1)$ wir fassen zusammen $b_k>\frac 13, \forall k$ über Induktion.
Dann $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
Deshalb $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ Das ist das gleiche wie Brians Ergebnisse.
Ursprüngliche Antwort:
Schon seit $1$ und $\frac 13$ sind Wurzeln der charakteristischen Gleichung $x=\frac{1}{4-3x}$, wir haben
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
Also wenn nein $a_n = \frac 13$ du hast
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
Natürlich müssen Sie sich um den Fall kümmern, wo $a_1=\frac 13$.
Definieren Sie die Funktion $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ Beachten Sie, dass $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ Betrachten Sie die beiden Sequenzen für $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ und $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ wo $q_0=\pm\infty$.
Beachten Sie, dass $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ wo im Fall von $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ Definieren Sie die Intervalle $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ wo $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ und $Q_0=\left(-\infty,0\right)$::
In der obigen Animation sind die durchgezogenen roten und grünen Linien die $P_n$ und $Q_n$. Die Pfeile zeigen auf die gepunkteten Intervalle$P_{n+1}$ und $Q_{n+1}$. Die Intervalle sind rot, wenn$f(a)\lt a$ in diesem Intervall und grün wenn $f(a)\gt a$;; Diese Intervalle sind in beschrieben$(2)$.
Schon seit $f'(a)\gt0$ außer bei $q_{-1}=\frac43$ (was zwischen ist $Q_{-2 }$ und $Q_{-1}$) haben wir die bijektionen $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ Schon seit $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ und $(8)$ Zeigen Sie das für alle Punkte außer $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$iterieren $f$ wird eine Sequenz erzeugen, die zu konvergiert $\frac13$ (Man könnte das sogar sagen $q_{-\infty}=1$).
Hinweis: Wenn $a_1<1$ist leicht zu sehen $a_n<1$ und dann lassen $b_n=a_n-\frac13$. Wenn$a_1\in(1,\frac43)$ist leicht zu sehen $a_n\in(1,\frac43)$ und dann lassen $b_n=a_n-1$. Sie können den Rest erledigen.
Ohne Induktion .
Wenn Sie die hier beschriebenen Schritte befolgen , die ich zur Beantwortung dieser Frage verwendet habe , um die Geschichte kurz zu machen$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
Nun müssen Sie die verschiedenen Fälle berücksichtigen, um zu den guten Ergebnissen aus der schönen Analyse von @Brian M. Scott zu gelangen.