Anzahl der Möglichkeiten, Punkte zuzuweisen

Question

Ein Test bestehend aus $12$ Fragen werden mit bewertet $200$Punkte. Wie viele Möglichkeiten kann das$200$ Punkte werden vergeben, wenn jede Frage mindestens einen Wert haben muss $10$ Punkte aber nicht mehr als $25$ und die Punktzahlen müssen ein Vielfaches von sein $5$?

Ich denke über eine mögliche Kombination mit Wiederholung nach. $15$ Punkte ($80/5$) aus $12$Fragen. Aber ich weiß nicht, wie ich die maximale Beschränkung von anwenden soll$25$.$3$ zu jeder Frage $\frac{25-10}{3}$.

Aber es kann auch keine Kombination mit Wiederholung sein, da ich die Aussage so interpretiere, dass es keine Rolle spielt, ob die erste Frage wert ist $30$ Punkte und der zweite ist wert $10$, das ist umgekehrt. Ich verstehe, dass dieses spezielle Beispiel ein einzigartiger Weg ist, nicht wahr?

Answer 1

Da muss jede Punktzahl ein Vielfaches von sein $5$Wir können genauso gut alle Punktwerte durch dividieren $5$ und haben $12$ Fragen im Wert von insgesamt $40$ Punkte, wobei jede Frage mindestens wert ist $2$ und höchstens $5$Punkte. Wenn$p_k$ ist der Punktwert der $k$-th Frage, wir suchen nach der Anzahl der Lösungen für

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

in ganzen Zahlen $p_k$ die Bedingung erfüllen, dass $2\le p_k\le 5$ zum $k=1,\ldots,12$. Lassen$x_k=p_k-2$ zum $k=1,\ldots,12$;; dann die Anzahl der Lösungen zu$(1)$ vorbehaltlich der angegebenen Einschränkung entspricht die Anzahl der Lösungen zu

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

in nicht negativen ganzen Zahlen $x_k$ die Bedingung erfüllen, dass $x_k\le 3$ zum $k=1,\ldots,12$. Wenn es nicht die Obergrenze für die Zahlen gäbe$x_k$Dies wäre ein Standardproblem mit Sternen und Balken , und das würde es auch geben$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$von ihnen. Leider verletzen viele dieser Lösungen die Obergrenze für eine oder mehrere der Zahlen$x_k$, so $\binom{27}{11}$ist eine erhebliche Überschätzung. Um dies zu korrigieren, müssen Sie eine Einschluss-Ausschluss-Berechnung durchführen. Meine Antwort auf diese Frage beinhaltet eine solche Berechnung; Versuchen Sie, es als Modell zu verwenden, um die Lösung Ihres Problems zu vervollständigen.

Answer 2

Da alle Punkte ein Vielfaches von sind $5$ wir können uns dadurch teilen, was dazu führt $40$ Gesamtpunktzahl und Frage Punktzahl von $2$ zu $5$Punkte. Da muss jede Frage mindestens sein$2$ Punkte können wir uns die Fragen als haltend vorstellen $24$ "Basispunkte", so dass das Problem bleibt, wie viele Verteilungsmöglichkeiten es gibt $16$ "Extrapunkte" zum $12$ Fragen ohne Frage mit mehr als $3$ von ihnen.

Als generierendes Funktionsproblem ist dies das $x^{16}$ Koeffizient von $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. Und die Antwort stellt sich heraus$1501566$.