Auf der Fourier-Inversionsformel

Question

Für eine bestimmte Funktion $f\in L^1(\mathbb{R})$Nehmen wir an, dass die
$$\check{f}(x)=\int_\mathbb{R} \hat{f}(\zeta)e^{2\pi i\zeta x}d\zeta$$ Fast überall konvergiert es $\mathbb{R}$. Dann können wir das sagen$f=\check{f}$fast überall? Wenn die Antwort NEIN lautet, ist es möglich, dass das Lebesgue-Maß von$\{x: f(x)\neq\check{f}(x)\}$ unendlich sein?

Answer 1

Hinweis: Ich bin nicht sicher, ob ich das Wort "konvergiert" richtig verstehe.

Dies ist völlig analog zu der ähnlichen Frage bezüglich der Konvergenz von Fourier-Reihen, die klassisch ist.

Lassen $$g(x,r) = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} d\zeta$$ durch "Teilsummen" der inversen Fourier-Transformation und bezeichnen mit $$h(x, r) = \int_0^1 g(x, r t) dt = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} (1 - \tfrac{|\zeta|}{r}) d\zeta $$ die Cesàro Durchschnittswerte von $g$.

Nach dem Satz von Plancherel $g(\cdot, r)$ ist die Faltung von $f$ mit der Funktion $\phi_r(x) = 2 r \operatorname{sinc}(\pi r x)$(das die gleiche Rolle spielt wie der Dirichlet-Kernel in der Theorie der Fourier-Reihen). Auf eine ähnliche Weise,$h(\cdot, r)$ ist die Faltung von $f$ mit einem $\psi_r(x) = r (\operatorname{sinc}(\pi r x))^2$ (das als kontinuierliches Gegenstück zum Fejér-Kernel dient).

Schon seit $\psi_r(x)$ ist eine ungefähre Identität als $r \to \infty$ (das ist: $\psi_r(x) = r \psi_1(r x)$, $\psi_r(x) \ge 0$ und $\int_{-\infty}^\infty \psi_r(x) dx = 1$) und zusätzlich $\psi_1$ ist begrenzt durch eine "radial abnehmende" und integrierbare Funktion: $\psi_1(x) \leqslant \min\{1, 1 / (\pi x)^2\}$. Dies impliziert, dass die Funktionen$f * \psi_r$ konvergieren zu $f$ wie $r \to \infty$ fast überall (und auch in $L^1$); siehe zum Beispiel Korollar 2.43 in Advanced Real Analysis von David McCormick und José Luis Rodrigo, hier verfügbar . Daher,$h(x, r) \to f(x)$ fast überall als $r \to \infty$ (Dies ist direkt unter dem Beweis von Korollar 2.43 in dem oben verlinkten Buch angegeben).

Für eine feste $x$, wenn $g(x, r)$ hat eine Grenze als $r \to \infty$, dann ist die Grenze notwendigerweise gleich der Grenze der Cesàro-Mittel $h(x, r)$. Also wenn$g(x, r)$ konvergiert für fast alle $x$ wie $r \to \infty$, dann ist die Grenze gleich $f(x)$ fast überall.

Answer 2

Ich kann mich irren, aber die folgende Neuformulierung Ihrer Frage scheint die weitestmögliche zu sein.

Frage: lassen $u\in L^1$, damit $\hat u\in L^\infty$ ist eine temperierte Verteilung und daher $v=F^{-1}\hat u$ist eine gut definierte temperierte Verteilung. Annehmen$v$ ist eine Funktion, was bedeutet, dass sie mit einer lokal integrierbaren Funktion zusammenfällt $w$im Verteilungssinn. Ist es dann wahr?$w=u$ ae?

Somit ist die Annahme, dass für jede Testfunktion $\phi$ wir haben $v(\phi)=\int w \phi$, was per Definition der Fourier-Transformation einer Verteilung impliziert, $\int\hat u\cdot F^{-1}\phi=\int w\phi$ dh $\int u FF^{-1}\phi=\int w\phi$ für alle Testfunktionen $\phi$. Es folgt offensichtlich$u=w$ ae