Aussagen zu Thurstons Arbeit an der Oberfläche

Question

Wenn wir einfache geschlossene Kurven haben $\alpha$ und $\beta$ auf einer Oberfläche $\Sigma_g$, die Schnittpunktnummer $i(\alpha ,\beta)$ ist definiert als die minimale Kardinalität von $\alpha_1\cap\beta_1$ wie $\alpha_1$ und $\beta_1$ Bereich über alle einfachen geschlossenen Kurven isotopisch zu $\alpha$ und $\beta$, beziehungsweise. Wir sagen$\alpha$ und $\beta$ minimal schneiden, wenn $i(\alpha ,\beta) = |\alpha\cap\beta|\,$.

Wie man das sieht $\alpha$ und $\beta$ schneiden sich minimal, wenn es keine Paare von gibt $p,q\in\alpha\cap\beta$ so dass sich der Lichtbogen verbindet $p$ zu $q$ entlang $\alpha$ gefolgt vom Bogen von $q$ zurück zu $p$ entlang $\beta$ begrenzt eine Festplatte in $\Sigma_g$?
Vielleicht eine Skizze der Beweisidee?

Ich denke, das Gegenteil ist auch wahr: "das $\alpha$ und $\beta$ schneiden sich nur minimal, wenn keine Paare von vorhanden sind $p,q\in\alpha\cap\beta$ so dass sich der Lichtbogen verbindet $p$ zu $q$ entlang $\alpha$ gefolgt vom Bogen von $q$ zurück zu $p$ entlang $\beta$ begrenzt eine Festplatte in $\Sigma_g$. "

Answer 1

Dies wird als "Bigon-Kriterium" bezeichnet. Eine Diskussion finden Sie in Abschnitt 1.2.4 (und insbesondere in Satz 1.7) des "Primers on Mapping Class Groups" von Farb und Margalit.

Die Google-Suche "Bigon-Kriterium" findet auch verschiedene Referenzen und Vorlesungsunterlagen. Hier ist zum Beispiel der Top-Hit:

https://math.stackexchange.com/questions/1646340/proof-of-the-bigon-criterion