Äußere Algebra und linear unabhängige Vektoren
Nehme an, dass $v_1,\cdots,v_r$ sind linear unabhängige Vektoren in einem Vektorraum $V$. Ich möchte versuchen, das für jeden zu zeigen$w \in \bigwedge^p(V)$ Das $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ für einige $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ dann und nur dann, wenn $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
Die Vorwärtsrichtung ist durch Schreiben trivial $w$als Summe und lineare Ausdehnung des Keilproduktes. Es ist die zweite Implikation, die mir Probleme bereitet.
Wenn wir das annehmen $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, dann möchte ich schließen, dass ich schreiben kann $w$ in der geeigneten Form durch Untersuchung gut ausgewählter alternierender, multi-linearer Formen aus $V^{p+r}$ in einen Vektorraum, damit ich die universelle Eigenschaft von nutzen kann $\bigwedge^{p+r}(V)$und werte die induzierte Karte bei aus $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ und bekomme $0$.
Das Problem, das ich habe, ist das $w$ ist nicht unbedingt ein elementares Keilprodukt, daher habe ich keine kanonische Art, es als ein Element von zu betrachten $V^p$. Irgendwelche Ideen für diese Rückwärtsrichtung wären sehr dankbar.
Antworten
Lassen $\{e_1,\ldots, e_k\}$ eine Basis sein von $V$ so dass $v_i=e_i$ zum $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Wo $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ und ich werde verwenden $|\alpha|$um die Anzahl der Elemente im Tupel zu bezeichnen. Deutlich$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Also \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ impliziert & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ impliziert & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ impliziert \ existiert l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Let$l_\alpha$bezeichnen den kleinsten solchen Wert)} \\ \ impliziert & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ Keil e_ {l_ \ alpha} \ Keil e _ {\ alpha_n} \ Keil \ cdots \ Keil e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ impliziert & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ Keil e _ {\ alpha_1} \ Keil \ cdots \ Keil e _ {\ alpha_m} \ Keil e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ impliziert & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ Summe _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ Keil e _ {\ alpha_1} \ Keil \ cdots \ Keil e _ {\ alpha_m} \ Keil e _ {\ alpha_n} \ Keil \ cdots \ Keil e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Könnte irgendwo einen Fehler gemacht haben, aber die Idee sollte klar sein . Wenn Sie eine Notation haben, die ich aus Gründen der Klarheit vorschlage, können Sie diese gerne kommentieren!