Automorphismusgruppe eines Cayley-Graphen

Nov 21 2020

Lassen $G$eine Gruppe sein. Lassen$\Gamma = \Gamma(G,X)$ sei der Cayley-Graph von $G$ definiert in Bezug auf einen Stromaggregat $X$. Das möchte ich zeigen$G\cong \text{Aut}(\Gamma)$. Beachten Sie, dass von$\text{Aut}(\Gamma)$Ich beziehe mich nicht auf die Automorphismusgruppe des zugrunde liegenden ungerichteten Graphen, sondern auf den detaillierten Graphen, in dem jede Kante gerichtet und mit dem entsprechenden Generator beschriftet ist.

In der folgenden gerichteten und beschrifteten Grafik gibt es beispielsweise nur einen nicht trivialen Automorphismus: den, den ich sende $1$ zu $4$. In der Tat wird der Rest des Automorphismus eindeutig bestimmt, indem das Bild eines einzelnen Scheitelpunkts unter dem Automorphismus beschrieben wird.

Ich habe versucht, diesem Beitrag zu folgen , war aber etwas verwirrt. Meine Fragen sind folgende:

  1. Wie sind die Elemente von $\text{Aut}(\Gamma)$definiert? Da es sich von der üblichen Definition eines Graphisomorphismus unterscheidet, war ich mir nicht sicher, wie ich diese Definition vornehmen sollte.
  2. Warum ist das leicht zu sehen? $T_h\in\text{Aut}(\Gamma)$? (Ich nehme an, die Antwort auf diese Frage hängt davon ab, wie$\text{Aut}(\Gamma)$ ist definiert.)

Antworten

1 runway44 Nov 22 2020 at 03:44

Die Eckpunkte des Cayley-Diagramms $\Gamma$ sind die Elemente von $G$gibt es eine Kante $(g,gs)$ für jeden $s\in X$ (wo $X$ ist der Stromaggregat) und $g\in G$. Die Kante$(g,gs)$ wird vom Generator beschriftet $s$. Ein Automorphismus von$\Gamma$ist eine Permutation der Scheitelpunktmenge, die eine Permutation der Kantenmenge induziert, bei der auch die Beschriftungen der Kanten erhalten bleiben. (Es sendet jede Kante an eine Kante mit derselben Beschriftung.)

Rufen Sie eine solche Funktion auf $\phi:G\to G$. Die Tatsache, dass es Kanten bewahrt, bedeutet$(\phi(g),\phi(gs))$ muss ein Vorteil für alle sein $g\in G,s\in S$und es muss das gleiche Etikett haben $s$, was die zweite Koordinate bedeutet $\phi(gs)$ muss der erste sein, $\phi(g)$mal $s$. Das ist,$\phi(gs)=\phi(g)s$ für alle Elemente $g\in G,s\in S$. Sie können die gleiche Idee für die Kanten machen$(gs^{-1},g)$ gekennzeichnet durch $s$ um zu zeigen $\phi(gs^{-1})=\phi(g)s^{-1}$ auch.

Da alle $g\in G$ sind Produkte von Elementen von $S$ und ihre Umkehrungen durch Induktion $\phi(g)=\phi(e)g$. Das heißt, jeder beschriftete Automorphismus$\phi$ von $\Gamma$ wird einfach Multiplikation gelassen $T_h(g):=hg$ durch ein Gruppenelement $h=\phi(e)$und umgekehrt (was einfach aus der assoziativen Eigenschaft folgt).