Berechnung mit komplexen Differentialformen
Ich lese diese Vorlesungsnotiz über komplexe Geometrie und stecke bei einer Berechnung (scheinbar grundlegend) fest, die komplexe Differentialformen beinhaltet. Annehmen$X$ ist eine komplexe Oberfläche und $\omega$ ist eine holomorphe (1,0) -Form, dh $\omega$ wird vom Bediener getötet $\overline{\partial}$. Lassen$\overline{\omega}$sei die entsprechende (0,1) konjugierte Form. Der Autor behauptet das
\ begin {Gleichung *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {Gleichung *}
Jetzt seit $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$Die rechte Seite ist nichts anderes als $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Aber ich kann nicht sehen, wie die linke Seite im selben Ausdruck geschrieben werden kann (unter Verwendung der üblichen Regel für äußere Ableitungen). Jeder Einblick wird geschätzt.
Antworten
Die LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ ist eine Drei-Form während der RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$ist eine Vierform. Sie sind nicht gleich.
Sie schauten sich die Notiz an und schrieben
Jetzt nach dem Stokes-Theorem $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (weil $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).
Ich glaube, es ist nur ein Tippfehler und sie meinen es wahrscheinlich $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$