Beschreibt diese Sorte linke Monoide?

Question

In dieser Frage habe ich folgende Sorte definiert.

Lassen $(S, \cdot, e)$ sei so, dass $(S, \cdot)$ ist eine Halbgruppe, $e$ ist eine binäre Operation, und lassen Sie die Identitäten $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$halt. Nennen wir eine Struktur, die diese erfüllt, ein doppeltes linkes Monoid oder dlm.

Man kann das sehen wenn $(S, \cdot)$ ist ein linkes Monoid mit linker Identität $f$, dann einstellen $e(x, y)\equiv f$ wir bekommen einen dlm.

Wenn $(S, \cdot, e)$Als Halbgruppe ist es kein linkes Monoid, dann kann es kein rechtes Monoid sein. Klar, wenn$f$ waren also die richtige Identität $e(x, f)f = f = e(x, f)$ für alle $x$, und so $fx = x$ für alle $x$Es wäre also ein Monoid.

Ist irgendein DLM nach der Transformation notwendigerweise ein linkes Monoid? $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ das vergisst die Operation $e$?

Answer 1

Die Antwort lautet nein, wie die Halbgruppe zeigt $(\Bbb{Z}, \min)$ mit $e(x,y) = \max(x,y)$.