Bewahren Homomorphismen die Reihenfolge der Untergruppen?

Question

Ich habe gelesen, dass der einzig mögliche Homomorphismus aus$\mathbb{Z}_7$zu$\mathbb{Z}_{12}$ist derjenige, der alle Elemente von abbildet$\mathbb{Z}_7$zu$\{0\}$. Da gibt es noch einen anderen Homomorphismus aus$\mathbb{Z}_7$zu$\mathbb{Z}_{12}$, muss es in der Lage sein, jede nicht-triviale Untergruppe von abzubilden$\mathbb{Z}_7$, zu einer Untergruppe von$\mathbb{Z}_{12}$. Dies bedeutet jedoch, dass$\mathbb{Z}_{12}$hätte eine Untergruppe der Ordnung$7$, was unmöglich ist.

Ich denke, was in der obigen Aussage impliziert ist, ist, dass Homomorphismen die Reihenfolge der Untergruppen beibehalten ... aber ist das im Allgemeinen wahr?

Answer 1

Es stimmt nicht im Allgemeinen. Lassen$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$gegeben von$f(x)=2x$. Die Karte$f$ist eindeutig ein Homomorphismus, bewahrt aber nicht die Ordnung der Gruppe selbst.

Ich denke, diese Aussage bedeutet, da nur Untergruppen von$\mathbb Z_7$sind$\{0\}$und die Gruppe selbst, Kern eines beliebigen nicht-trivialen Homomorphismus ist$\{0\}$Daher ist jeder nichttriviale Homomorphismus injektiv. Das heisst$\mathbb Z_7$ist isomorph zum Bild von sich selbst, aber das kann nicht passieren, da das Bild eines Homomorphismus eine Untergruppe von ist$\mathbb Z_{12}$und diese Gruppe hat keine Untergruppe der Ordnung$7$.