Beweise das $|\sin 1| + |\sin 2| + |\sin 3| +\cdots+ |\sin 3n| > 8n/5$ [Duplikat]
Die Frage lautet also wie folgt:
Beweise das $\left|\sin 1\right| + \left|\sin 2\right| + \left|\sin 3\right| +\cdots+ \left|\sin 3n\right| > 8n/5.$
Ich habe einige Ansätze ausprobiert, einschließlich der Verwendung der Taylor-Erweiterung oder der AM-GM-Ungleichung, aber ohne Erfolg. Es wäre eine große Hilfe, wenn dieses Problem nachgewiesen werden könnte.
Bearbeiten: Winkel sind im Bogenmaß, $n$ ist eine natürliche Zahl.
Antworten
Lemma: Die Funktion
$$f(x)=|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+\sin(x+2)|>\frac{8}{5}$$
für alle $x\in\mathbb{R}$.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass die obige Gleichung gilt für $x\in [0,2\pi]$. Die Funktion ist bis auf stückweise differenzierbar
$$x\in \{0,\pi,\pi-1,2\pi-1,\pi-2,2\pi-2,2\pi\}$$
Dann $f(x)$ kann umgeschrieben werden
$$f(x)=\begin{cases} f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 0\leq x\leq \pi-2 \\ f_2(x)=\sin(x)+\sin(x+1)-\sin(x+2) & \pi-2\leq x\leq \pi-1 \\ \vdots \\ f_6(x)=-\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 2\pi-1\leq x\leq 2\pi \end{cases}$$
Wir können dann jedes dieser Intervalle nehmen und beweisen $f_i(x)>\frac{8}{5}$. Zum$i=1$, wir haben
$$f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2)$$
$$=-\sin ^2(1) \sin (x)+\sin (x)+\cos ^2(1) \sin (x)+2 \sin (1) \cos (1) \cos (x)+\sin (1) \cos (x)+\cos (1) \sin (x)$$
Beachten Sie, dass
$$f_1(0)=\sin (1)+2 \sin (1) \cos (1)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+2\left(1-\frac{1}{3!}\right)\left(1-\frac{1}{2!}\right)=\frac{5}{3}>\frac{8}{5}$$
$$f_1(\pi-2)=\sin (1)+\sin (2)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+\left(2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}\right)=\frac{1097}{630}>\frac{8}{5}$$
(Wir haben die Erweiterungen der Taylor-Serie verwendet, um Grenzen zu ermitteln $\sin(1),\sin(2)$, und $\cos(1)$). Also an den Endpunkten von$[0,\pi-2]$ wir wissen $f_1(x)>\frac{8}{5}$. Nehmen wir nun die Ableitung, die wir bekommen
$$f_1^{'}(x)=\cos (x)+\cos (x+1)+\cos (x+2)=(1+2 \cos (1)) \cos (x+1)$$
Dies ist leicht zu lösen und wir sehen, dass die einzige Null im Intervall $[0,\pi-2]$ ist $x=\frac{\pi }{2}-1$. Der letzte Schritt besteht darin, die Ableitung noch einmal zu nehmen:
$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)$$
Schon seit
$$\cos(1)>1-\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}>0$$
wir wissen
$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)<0$$
zum $x\in [0,\pi-2]$. Alles zusammen haben wir
$$f_1(0)>\frac{8}{5}$$
$$f_1(\pi-2)>\frac{8}{5}$$
$$f_1^{'}(x)\text{ has a single zero on the interval}$$
$$f_1^{''}(x)<0\text{ on the interval}$$
Diese Bedingungen implizieren das $f_1(x)>\frac{8}{5}$ für alle $x\in[0,\pi-2]$. Die übrigen Fälle können auf die gleiche Weise wie die nachgewiesen werden$i=1$Fall. Damit ist das Lemma bewiesen.
Satz: Die endliche Summe
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{8}{5}n$$
Beweis: Durch das Lemma (mit $x=3i-1$) wissen wir, dass jeder Teil der Summe größer ist als $\frac{8}{5}$. Dann
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\sum_{i=0}^{n-1}\frac{8}{5}=\frac{8}{5}n$$
und der Satz ist bewiesen.
EDIT: Ich habe dies aufgenommen, nachdem ich einige numerische Beispiele gemacht habe. Es scheint, dass
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)=1.9098...$$
Ein Punkt, das sieht irgendwie aus wie eine Riemannsche Summe (zumindest der Bruch vor einer endlichen Summe). Zweitens, wenn die Grenze tatsächlich existiert, dann gilt die Vermutung für alle bis auf eine endliche Anzahl von$n$ für alle $x<1.9098...$. Das heißt, wenn$x<1.9098...$ dann für alle bis auf eine endliche Anzahl von $n$
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>xn$$
Es passiert einfach so $\frac{8}{5}$ist keine enge Bindung. In der Tat eine engere Bindung, die für alle funktionieren sollte$n$ ist $\frac{42}{25}$. Das ist
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{42}{25}n$$
ist für alle wahr $n$. Um dies zu beweisen, wären nur viel mehr Begriffe für die Erweiterungen der Taylor-Serie von erforderlich$\sin(1),\cos(1),$ und $\sin(2)$ (oder eine andere Erweiterung).
EDIT 2: Das letzte Mal bearbeitet, wurde mir klar , dass die Grenze dort (in EDIT 1) ist auf eine Riemann Summe ähnlich. Speziell
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \bigg(|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+|\sin(x+2)|\bigg)dx=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}=1.90986...$$
Darauf schien die Grenze zu konvergieren. Es würde etwas Finesse erfordern (Sie müssten wahrscheinlich die Tatsache nutzen, dass die natürlichen Zahlen modulo gleichverteilt sind$2\pi$), aber ich bin jetzt zuversichtlich, dass die oben genannte Grenze tatsächlich existiert und dass sie gleich ist $\frac{6}{\pi}$.