Beweisen, dass eine stückweise Funktion Darboux integrierbar ist $[0,2]$ Hilfe

Aug 16 2020

Lassen $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben sein durch

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Beweise das $f$ ist Darboux integrierbar und rechnerisch $\int_{0}^{2}f$.

Versuch

Dass die Funktion Darboux integrierbar ist, bedeutet für alle $\epsilon > 0$gibt es eine Partition $P$ von $[0,2]$ so dass $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Annehmen $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ ist eine Partition von $[0,2]$ mit $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Zum, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$:: $m_{i} = M_{i} = 10$

Auch für $t_{j} < \dots < t_{n}$:: $m_{i} = M_{i} = -5$

Jetzt habe ich Probleme mit der Verwaltung $x = 1$Hier liegt die Diskontinuität und offensichtlich die Herausforderung des Problems. Zuerst wollte ich das sagen$m_{i} = M_{i} = 100$ in welchem ​​Intervall sich die Nummer 1 befindet und das würde mir geben:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

und

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Dann würde ich diese subtrahieren $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Ich bin jedoch der Meinung, dass dies nicht die richtige Antwort ist, und ich muss die Partition etwas expliziter ausdrücken. Auch was auch immer$U(f,P) - L(f,P)$ist, es wird schließlich zu dem konvergieren, was das Integral ist. Und bei der Berechnung des Integrals (zur Überprüfung mit früheren Berechnungstechniken) bekomme ich$5$Das ist nicht der Wert der Differenz in der oberen und unteren Summe. Wo gehe ich falsch?

Antworten

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

Fest $\varepsilon$ und genommen $\delta$ klein genug, können Sie nehmen $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
so dass \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} so dass zu haben $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ du musst auswählen $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$