Beweisen $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$
Beweisen $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$mit $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$
Ich habe eine ähnliche Frage versucht, aber dort hatte ich eine Serie der Funktion gegeben. Dieses Mal weiß ich nicht, ob es eine Serie gibt, die mir dabei helfen kann. Ich habe es ohne Serie versucht:
\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}
Aber jetzt stecke ich wieder fest. Ich denke, es muss einen einfacheren Weg geben, dies zu beweisen. Kann mir jemand helfen?
Antworten
Du hast
$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$
Daraus folgt durch Umschalten $\int$ und $\sum$ die Gleichheiten
$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$
wie in der doppelten Summe sind die einzigen nicht verschwindenden Begriffe für $k=-l$ und da sind $n+1$ solche Begriffe.
Hinweis: Lassen Sie$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ und lass $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ Beweise das $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$
$D_n$ ist bekannt als der Dirichlet-Kernel und $F_N$ ist als Fejér-Kernel bekannt.
Hier ist zu integrieren, ohne auf Serien zurückzugreifen
\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} wo das Ergebnis $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$abgeleitet im parametrischen trigonometrischen Integral$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ wird genutzt.