Beweisen $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[Duplikat]
Ich muss beweisen$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$aber ich bin mit meinem Latein am Ende. Ich habe das Internet durchsucht, aber ich kann nur Beispiele/Antworten finden, die die Umkehrung = 0 beweisen, und ich habe selbst eine Reihe von Methoden ohne Erfolg ausprobiert (erweiterte Begriffe, L'Hopitals-Regel mit unzähligen verschiedenen Ableitungen, die alle falsch waren). Kann mir jemand den richtigen Weg weisen, ich stecke komplett fest...
Antworten
Beachten Sie, dass$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Indem Sie die entsprechenden Diagramme zeichnen, können Sie Folgendes sehen:
$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$
$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$
Berechnen Sie nun das Integral$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, so wird das Obige
$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$
Und jetzt erhalten wir Ihr Ergebnis durch das Squeeze-Theorem nach dem Dividieren durch.
$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$und so$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$
Wenn Sie diese Grenze der Obergrenze auswerten, würden Sie erhalten$2$seit$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Allerdings, wenn Sie auswählen$\epsilon >1$, sehen Sie
$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$und so$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$
und da$\epsilon>1$(willkürlich), das können Sie schließen$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$
(Sie können leicht die untere Grenze erhalten) und so muss die Grenze sein$1$.
Verwenden$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$wir haben$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$
Zusatz.
Für die linke Seite ist der erste Induktionsschritt klar. Dann$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$da$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ist gleichwertig$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.
Für rechte Seite$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$
$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$
Anwendung der Regel von L'Hôpital,
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$
Nochmaliges Anwenden ergibt
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$
Der Nenner nähert sich 1 als$x\rightarrow \infty$.